Bài tập (Bài 31)

Bài 10.1. Thay dấu "?" bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau (hình trụ):

Lời giải:

Dùng công thức Sxq=2πRhS_{xq} = 2\pi Rh và V=πR2hV = \pi R^2 h:

  • Hàng 1 (R=4R = 4; h=6h = 6): Sxq=2π⋅4⋅6=48πS_{xq} = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi (cm²); V=π⋅42⋅6=96πV = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 96\pi (cm³).
  • Hàng 2 (R=3R = 3; h=5h = 5): Sxq=2π⋅3⋅5=30πS_{xq} = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi (cm²); V=π⋅32⋅5=45πV = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi (cm³).
  • Hàng 3 (h=10h = 10; V=50πV = 50\pi): từ πR2⋅10=50π\pi R^2 \cdot 10 = 50\pi suy ra R2=5R^2 = 5, tức R=5R = \sqrt{5} (cm); Sxq=2π5⋅10=205πS_{xq} = 2\pi\sqrt{5} \cdot 10 = 20\sqrt{5}\pi (cm²).
  • Hàng 4 (R=8R = 8; Sxq=192πS_{xq} = 192\pi): từ 2π⋅8⋅h=192π2\pi \cdot 8 \cdot h = 192\pi suy ra h=12h = 12 (cm); V=π⋅64⋅12=768πV = \pi \cdot 64 \cdot 12 = 768\pi (cm³).
Bán kính đáy (cm) Chiều cao (cm) Diện tích xung quanh (cm²) Thể tích (cm³)
44 66 48π48\pi 96π96\pi
33 55 30π30\pi 45π45\pi
5\sqrt{5} 1010 205π20\sqrt{5}\pi 50π50\pi
88 1212 192π192\pi 768π768\pi

Bài 10.2. Cho hình chữ nhật ABCDABCD có AB=3AB = 3 cm, BC=4BC = 4 cm. Quay hình chữ nhật quanh cạnh ABAB một vòng, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ tạo thành.

Lời giải:

Quay quanh cạnh ABAB nên hình trụ có chiều cao h=AB=3h = AB = 3 cm và bán kính đáy R=BC=4R = BC = 4 cm.

Sxq=2πRh=2π⋅4⋅3=24π≈75,4 (cm2);S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 4 \cdot 3 = 24\pi \approx 75{,}4 \text{ (cm}^2\text{)};

V=πR2h=π⋅42⋅3=48π≈150,8 (cm3).V = \pi R^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 48\pi \approx 150{,}8 \text{ (cm}^3\text{)}.

Bài 10.3. Khi cho tam giác SOASOA vuông tại OO quay quanh cạnh SOSO một vòng, ta được một hình nón. Biết OA=8OA = 8 cm, SA=17SA = 17 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

Lời giải:

Hình nón có bán kính đáy r=OA=8r = OA = 8 cm và đường sinh l=SA=17l = SA = 17 cm.

a) Sxq=πrl=π⋅8⋅17=136π≈427,3S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi \approx 427{,}3 (cm²).

b) Chiều cao (định lí Pythagore trong tam giác vuông SOASOA):

h=SO=SA2−OA2=172−82=225=15 (cm).h = SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15 \text{ (cm)}.

V=13πr2h=13π⋅82⋅15=320π≈1 005,3 (cm3).V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 15 = 320\pi \approx 1\,005{,}3 \text{ (cm}^3\text{)}.

Bài 10.4. Một bóng đèn huỳnh quang có dạng hình trụ được đặt khít vào một hộp giấy cứng dạng hình hộp chữ nhật. Hộp giấy có chiều dài bằng 0,60{,}6 m, đáy là hình vuông cạnh 44 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của bóng đèn (giả sử bề dày của hộp giấy không đáng kể).

Lời giải:

Vì bóng đèn đặt khít trong hộp nên: chiều cao của bóng đèn bằng chiều dài hộp h=0,6h = 0{,}6 m =60= 60 cm; đường tròn đáy nội tiếp hình vuông cạnh 44 cm nên đường kính đáy bằng 44 cm, tức R=2R = 2 cm.

Sxq=2πRh=2π⋅2⋅60=240π≈754 (cm2);S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 2 \cdot 60 = 240\pi \approx 754 \text{ (cm}^2\text{)};

V=πR2h=π⋅22⋅60=240π≈754 (cm3).V = \pi R^2 h = \pi \cdot 2^2 \cdot 60 = 240\pi \approx 754 \text{ (cm}^3\text{)}.

Bài 32. Hình cầu

Nhận biết mặt cầu, hình cầu: Khi quay nửa đường tròn quanh đường kính ABAB cố định của nó, ta được một mặt cầu; khi quay nửa hình tròn quanh đường kính ABAB cố định, ta được một hình cầu. Tâm và bán kính của nửa đường tròn (nửa hình tròn) cũng là tâm và bán kính của mặt cầu (hình cầu).

Câu hỏi. Tìm một vài hình ảnh của hình cầu, mặt cầu trong thực tế.

Trả lời: Viên bi thép, quả bóng đá, quả bóng bàn, quả địa cầu, hạt trân châu — có dạng hình cầu; bề mặt quả bóng bay bơm căng, vỏ quả bóng chuyền — gợi hình ảnh mặt cầu.

Ví dụ 1. Hãy kể tên tâm và một bán kính của mặt cầu (tâm OO, điểm PP nằm trên mặt cầu).

Lời giải: Tâm mặt cầu: OO. Một bán kính: OPOP.

HĐ1. Người ta cắt sọ dừa khô (xem như hình cầu) để làm gáo dừa. Em thấy miệng gáo có dạng hình gì?

Trả lời: Miệng gáo có dạng hình tròn (đường tròn).

HĐ2. Khi cắt đôi một quả cam có dạng hình cầu, em thấy mặt cắt có dạng hình gì?

Trả lời: Mặt cắt có dạng hình tròn.

Kết luận: Cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng thì mặt cắt là một hình tròn; cắt một mặt cầu bán kính RR bởi một mặt phẳng thì phần chung là một đường tròn. Khi mặt phẳng đi qua tâm, đường tròn đó có bán kính RR và gọi là đường tròn lớn; khi mặt phẳng không đi qua tâm, đường tròn đó có bán kính nhỏ hơn RR.

Ví dụ 2. Trái Đất được xem là có dạng hình cầu và đường Xích đạo là một đường tròn lớn, dài khoảng 40 07540\,075 km. Tính đường kính của Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của km).

Lời giải:

Đường Xích đạo là đường tròn lớn nên bán kính của nó bằng bán kính RR của Trái Đất. Độ dài Xích đạo:

2πR≈40 075 (km)  ⟹  2R≈40 075π≈12 756,27 (km).2\pi R \approx 40\,075 \text{ (km)} \implies 2R \approx \frac{40\,075}{\pi} \approx 12\,756{,}27 \text{ (km)}.

Vậy đường kính Trái Đất khoảng 12 756,2712\,756{,}27 km.

Luyện tập 2. Khi cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm của hình cầu đó được một hình tròn có diện tích 25π25\pi cm². Tính bán kính của hình cầu.

Lời giải:

Mặt phẳng đi qua tâm nên hình tròn mặt cắt có bán kính bằng bán kính RR của hình cầu:

πR2=25π  ⟹  R2=25  ⟹  R=5 (cm).\pi R^2 = 25\pi \implies R^2 = 25 \implies R = 5 \text{ (cm)}.

HĐ3. Lượng sơn cần dùng để sơn kín một mặt cầu bán kính RR bằng với lượng sơn cần dùng để sơn kín một hình tròn bán kính 2R2R. Từ đó, em hãy dự đoán công thức tính diện tích mặt cầu bán kính RR.

Trả lời:

Diện tích mặt cầu bằng diện tích hình tròn bán kính 2R2R:

S=π(2R)2=4πR2.S = \pi(2R)^2 = 4\pi R^2.