Bài 32 (tiếp). Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

HĐ4. Hình cầu bán kính RR nằm khít trong cốc hình trụ bán kính đáy RR, chiều cao 2R2R đựng đầy nước. Nhấc hình cầu ra thì cột nước còn lại chỉ bằng 13\dfrac{1}{3} chiều cao của cốc. Từ đó, em hãy dự đoán công thức tính thể tích hình cầu bán kính RR.

Trả lời:

Thể tích cốc hình trụ: Vtrụ=πR2⋅2R=2πR3V_{\text{trụ}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3. Nước còn lại chiếm 13\dfrac{1}{3} cốc nên phần thể tích bị hình cầu chiếm chỗ bằng 23\dfrac{2}{3} cốc:

Vcaˆˋu=23⋅2πR3=43πR3.V_{\text{cầu}} = \frac{2}{3} \cdot 2\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3.

Công thức: S=4πR2S = 4\pi R^2 (diện tích mặt cầu); V=43πR3V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 (thể tích hình cầu).

Ví dụ 3. Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu có bán kính bằng 1010 cm.

Lời giải:

Diện tích mặt cầu: S=4πR2=4π⋅102=400πS = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 10^2 = 400\pi (cm²).

Thể tích hình cầu: V=43πR3=43π⋅103=4 000π3V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \dfrac{4\,000\pi}{3} (cm³).

Vận dụng 1. Quả bóng đá theo tiêu chuẩn FIFA có dạng hình cầu với đường kính khoảng 2222 cm. Khi bơm căng quả bóng thì thể tích quả bóng bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bán kính quả bóng: R=222=11R = \dfrac{22}{2} = 11 (cm). Thể tích quả bóng:

V=43πR3=43π⋅113=5 324π3≈5 575 (cm3).V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 11^3 = \frac{5\,324\pi}{3} \approx 5\,575 \text{ (cm}^3\text{)}.

Ví dụ 4. Bạn Trang có một bể cá có dạng một phần hình cầu với đường kính bằng 2020 cm. Khi nuôi cá, Trang thường đổ vào bể lượng nước có thể tích bằng 23\dfrac{2}{3} thể tích của hình cầu. Tính thể tích nước bạn Trang đã đổ vào bể cá (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).

Lời giải:

Bán kính của hình cầu: R=20:2=10R = 20 : 2 = 10 (cm). Thể tích hình cầu:

V=43π⋅103=4 000π3 (cm3).V = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \frac{4\,000\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.

Thể tích nước đổ vào bể:

Vnước=23⋅4 000π3=8 000π9≈2 793 (cm3).V_{\text{nước}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4\,000\pi}{3} = \frac{8\,000\pi}{9} \approx 2\,793 \text{ (cm}^3\text{)}.

Vận dụng 2. Giả sử một khinh khí cầu có dạng hình cầu với đường kính bằng 1111 m. Tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của m²).

Lời giải:

Bán kính: R=112=5,5R = \dfrac{11}{2} = 5{,}5 (m). Diện tích mặt khinh khí cầu:

S=4πR2=4π⋅5,52=121π≈380 (m2).S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 5{,}5^2 = 121\pi \approx 380 \text{ (m}^2\text{)}.

Bài tập

Bài 10.7. Thay dấu "?" bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau (hình cầu):

Lời giải:

Dùng công thức S=4πR2S = 4\pi R^2 và V=43πR3V = \dfrac{4}{3}\pi R^3:

  • Hàng 1 (R=3R = 3): S=4π⋅9=36πS = 4\pi \cdot 9 = 36\pi (cm²); V=43π⋅27=36πV = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi (cm³).
  • Hàng 2 (S=100πS = 100\pi): từ 4πR2=100π4\pi R^2 = 100\pi suy ra R=5R = 5 (cm); V=43π⋅125=500π3V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 125 = \dfrac{500\pi}{3} (cm³).
  • Hàng 3 (V=972πV = 972\pi): từ 43πR3=972π\dfrac{4}{3}\pi R^3 = 972\pi suy ra R3=729R^3 = 729, tức R=9R = 9 (cm); S=4π⋅81=324πS = 4\pi \cdot 81 = 324\pi (cm²).
Bán kính (cm) Diện tích mặt cầu (cm²) Thể tích hình cầu (cm³)
33 36π36\pi 36π36\pi
55 100π100\pi 500π3\dfrac{500\pi}{3}
99 324π324\pi 972π972\pi

Bài 10.8. Một cốc đựng ba viên kem có dạng hình cầu, mỗi viên đều có bán kính bằng 33 cm. Tính thể tích của kem đựng trong cốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).

Lời giải:

Thể tích một viên kem: 43π⋅33=36π\dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = 36\pi (cm³). Thể tích kem trong cốc:

V=3⋅36π=108π≈339 (cm3).V = 3 \cdot 36\pi = 108\pi \approx 339 \text{ (cm}^3\text{)}.

Bài 10.9. Một quả bóng đá có chu vi của đường tròn lớn bằng 68,568{,}5 cm. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích bằng 49,8349{,}83 cm². Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?

Lời giải:

Gọi RR là bán kính quả bóng. Chu vi đường tròn lớn: 2πR=68,52\pi R = 68{,}5, suy ra R=68,52πR = \dfrac{68{,}5}{2\pi} (cm).

Diện tích mặt quả bóng:

S=4πR2=4π⋅68,524π2=68,52π=4 692,25π≈1 493,6 (cm2).S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \frac{68{,}5^2}{4\pi^2} = \frac{68{,}5^2}{\pi} = \frac{4\,692{,}25}{\pi} \approx 1\,493{,}6 \text{ (cm}^2\text{)}.

Số miếng da cần dùng ít nhất: 1 493,649,83≈29,97\dfrac{1\,493{,}6}{49{,}83} \approx 29{,}97, tức cần ít nhất 3030 miếng da.

Bài 10.10. Trong lễ hội vật cầu truyền thống ở làng Thúy Lĩnh (Lĩnh Nam, Hoàng Mai, Hà Nội) có sử dụng một quả cầu được tiện bằng gỗ, đường kính khoảng 3535 cm, sơn đỏ mặt ngoài. Tính diện tích mặt ngoài của quả cầu gỗ nói trên.

Lời giải:

Bán kính quả cầu: R=352=17,5R = \dfrac{35}{2} = 17{,}5 (cm). Diện tích mặt ngoài:

S=4πR2=4π⋅17,52=1 225π≈3 848,5 (cm2).S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 17{,}5^2 = 1\,225\pi \approx 3\,848{,}5 \text{ (cm}^2\text{)}.

Luyện tập chung

Ví dụ 1. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 11 cm và chiều cao bằng 22 cm. Người ta khoan đi một phần có dạng hình nón (cùng đáy và cùng chiều cao với hình trụ) thì thể tích phần còn lại của hình trụ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Thể tích hình trụ: V1=πR2h=π⋅12⋅2=2πV_1 = \pi R^2 h = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi (cm³).

Thể tích phần bị khoan dạng hình nón: V2=13πR2h=2π3V_2 = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{2\pi}{3} (cm³).

Thể tích phần còn lại: V=V1−V2=2π−2π3=4π3V = V_1 - V_2 = 2\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} (cm³).

Ví dụ 2. Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ chứa vừa khít ba quả bóng tennis xếp theo chiều dọc. Các quả bóng tennis có dạng hình cầu, đường kính 6,46{,}4 cm.

a) Tính thể tích hộp đựng bóng (bỏ qua bề dày của vỏ hộp, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).

b) Tính thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis.

Lời giải:

a) Chiều cao hộp: h=6,4⋅3=19,2h = 6{,}4 \cdot 3 = 19{,}2 (cm); bán kính đáy hộp: R=6,4:2=3,2R = 6{,}4 : 2 = 3{,}2 (cm).

V=πR2h=π⋅3,22⋅19,2≈618 (cm3).V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3{,}2^2 \cdot 19{,}2 \approx 618 \text{ (cm}^3\text{)}.

b) Thể tích ba quả bóng: V′=3⋅43π⋅3,23≈412V' = 3 \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3{,}2^3 \approx 412 (cm³).

Thể tích phần trống trong hộp: V′′=V−V′≈618−412=206V'' = V - V' \approx 618 - 412 = 206 (cm³).

Bài 10.11. Cho một hình trụ có đường kính của đáy bằng với chiều cao và có thể tích bằng 2π2\pi cm³.

a) Tính chiều cao của hình trụ.

b) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy. Tính diện tích toàn phần của hình trụ trên.

Lời giải:

a) Gọi bán kính đáy là RR thì chiều cao h=2Rh = 2R. Theo đề bài:

πR2⋅2R=2π  ⟺  R3=1  ⟺  R=1 (cm).\pi R^2 \cdot 2R = 2\pi \iff R^3 = 1 \iff R = 1 \text{ (cm)}.

Vậy chiều cao của hình trụ là h=2h = 2 cm.

b) Stp=Sxq+2Sđaˊy=2π⋅1⋅2+2π⋅12=4π+2π=6π≈18,85S_{tp} = S_{xq} + 2S_{\text{đáy}} = 2\pi \cdot 1 \cdot 2 + 2\pi \cdot 1^2 = 4\pi + 2\pi = 6\pi \approx 18{,}85 (cm²).

Bài 10.14. Người ta nhấn chìm hoàn toàn 55 viên bi có dạng hình cầu vào một chiếc cốc hình trụ đựng đầy nước, mỗi viên bi có đường kính 22 cm. Tính lượng nước tràn ra khỏi cốc.

Lời giải:

Lượng nước tràn ra đúng bằng tổng thể tích của 55 viên bi. Bán kính mỗi viên bi: r=1r = 1 cm.

V=5⋅43π⋅13=20π3≈20,9 (cm3).V = 5 \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{20\pi}{3} \approx 20{,}9 \text{ (cm}^3\text{)}.

Bài 10.15. Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu có đường kính bằng 1,81{,}8 m và một hình trụ có chiều cao bằng 3,63{,}6 m. Tính thể tích của bồn chứa xăng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của m³).

Lời giải:

Hai nửa hình cầu ghép thành một hình cầu bán kính R=1,82=0,9R = \dfrac{1{,}8}{2} = 0{,}9 (m); hình trụ có cùng bán kính đáy R=0,9R = 0{,}9 m và chiều cao h=3,6h = 3{,}6 m.

V=43πR3+πR2h=43π⋅0,93+π⋅0,92⋅3,6=0,972π+2,916π=3,888π≈12,21 (m3).V = \frac{4}{3}\pi R^3 + \pi R^2 h = \frac{4}{3}\pi \cdot 0{,}9^3 + \pi \cdot 0{,}9^2 \cdot 3{,}6 = 0{,}972\pi + 2{,}916\pi = 3{,}888\pi \approx 12{,}21 \text{ (m}^3\text{)}.

Bài 10.16. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 5050 cm ×\times 240240 cm, người ta làm mặt xung quanh của các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 5050 cm, theo hai cách:

  • Cách 1: gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của một thùng.
  • Cách 2: cắt tấm tôn thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu V1V_1 là thể tích của thùng gò theo Cách 1 và V2V_2 là tổng thể tích của hai thùng gò theo Cách 2. Tính tỉ số V1V2\dfrac{V_1}{V_2}.

Lời giải:

Cách 1: chu vi đáy bằng 240240 cm nên bán kính đáy R1=2402π=120πR_1 = \dfrac{240}{2\pi} = \dfrac{120}{\pi} (cm).

V1=πR12⋅50=π⋅1202π2⋅50=720 000π (cm3).V_1 = \pi R_1^2 \cdot 50 = \pi \cdot \frac{120^2}{\pi^2} \cdot 50 = \frac{720\,000}{\pi} \text{ (cm}^3\text{)}.

Cách 2: mỗi tấm có kích thước 5050 cm ×\times 120120 cm, chu vi đáy mỗi thùng bằng 120120 cm nên R2=60πR_2 = \dfrac{60}{\pi} (cm).

V2=2⋅πR22⋅50=2π⋅602π2⋅50=360 000π (cm3).V_2 = 2 \cdot \pi R_2^2 \cdot 50 = 2\pi \cdot \frac{60^2}{\pi^2} \cdot 50 = \frac{360\,000}{\pi} \text{ (cm}^3\text{)}.

Vậy:

V1V2=720 000360 000=2.\frac{V_1}{V_2} = \frac{720\,000}{360\,000} = 2.

(Cùng một lượng tôn nhưng gò thành một thùng lớn cho thể tích gấp đôi hai thùng nhỏ.)