Bài tập cuối chương X

A. Trắc nghiệm

Bài 10.17. Khi quay hình chữ nhật ABCDABCD một vòng quanh cạnh ABAB ta được một hình trụ có bán kính đáy bằng độ dài đoạn thẳng nào?

Lời giải: Trục quay là ABAB; cạnh ADAD vuông góc với trục tại AA nên quét thành hình tròn đáy, tức bán kính đáy bằng ADAD. Đáp án C.

Bài 10.18. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA có AB=4AB = 4 cm, BC=5BC = 5 cm. Khi quay tam giác ABCABC một vòng quanh cạnh ACAC ta được một hình nón có chiều cao bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chiều cao hình nón là cạnh nằm trên trục quay: h=AC=BC2−AB2=25−16=3h = AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 (cm). Đáp án B.

Bài 10.19. Diện tích mặt cầu có đường kính 1010 cm là bao nhiêu?

Lời giải: R=5R = 5 cm; S=4πR2=4π⋅25=100πS = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi (cm²). Đáp án D.

Bài 10.20. Cho hình nón có bán kính đáy R=2R = 2 cm, độ dài đường sinh l=5l = 5 cm. Diện tích xung quanh của hình nón bằng bao nhiêu?

Lời giải: Sxq=πRl=π⋅2⋅5=10πS_{xq} = \pi R l = \pi \cdot 2 \cdot 5 = 10\pi (cm²). Đáp án D.

Bài 10.21. Một mặt phẳng đi qua tâm hình cầu, cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích 9π9\pi cm². Thể tích của hình cầu bằng bao nhiêu?

Lời giải: Mặt cắt qua tâm nên πR2=9π\pi R^2 = 9\pi, suy ra R=3R = 3 cm. V=43π⋅27=36πV = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi (cm³). Đáp án B.

B. Tự luận

Bài 10.22. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2020 cm, chiều cao bằng 3030 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Tính thể tích của hình trụ.

Lời giải:

a) Sxq=2πRh=2π⋅20⋅30=1 200π≈3 769,9S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 20 \cdot 30 = 1\,200\pi \approx 3\,769{,}9 (cm²).

b) V=πR2h=π⋅202⋅30=12 000π≈37 699,1V = \pi R^2 h = \pi \cdot 20^2 \cdot 30 = 12\,000\pi \approx 37\,699{,}1 (cm³).

Bài 10.23. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 99 cm, độ dài đường sinh bằng 1515 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

c) Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy. Tính diện tích toàn phần của hình nón đã cho.

Lời giải:

a) Sxq=πrl=π⋅9⋅15=135π≈424,1S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 9 \cdot 15 = 135\pi \approx 424{,}1 (cm²).

b) Chiều cao: h=l2−r2=225−81=144=12h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 (cm).

V=13πr2h=13π⋅81⋅12=324π≈1 017,9 (cm3).V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 12 = 324\pi \approx 1\,017{,}9 \text{ (cm}^3\text{)}.

c) Stp=Sxq+πr2=135π+81π=216π≈678,6S_{tp} = S_{xq} + \pi r^2 = 135\pi + 81\pi = 216\pi \approx 678{,}6 (cm²).

Bài 10.24. Quả bóng rổ sử dụng trong thi đấu có dạng hình cầu với đường kính bằng 2424 cm. Hãy tính:

a) Diện tích bề mặt quả bóng.

b) Thể tích của quả bóng.

Lời giải:

Bán kính: R=12R = 12 cm.

a) S=4πR2=4π⋅144=576π≈1 809,6S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 144 = 576\pi \approx 1\,809{,}6 (cm²).

b) V=43πR3=43π⋅1 728=2 304π≈7 238,2V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1\,728 = 2\,304\pi \approx 7\,238{,}2 (cm³).

Bài 10.25. Đèn trời có dạng hình trụ không có một đáy với đường kính đáy bằng 0,80{,}8 m và thân đèn cao 11 m. Tính diện tích giấy dán bên ngoài đèn trời.

Lời giải:

Bán kính đáy: R=0,4R = 0{,}4 m. Giấy dán gồm mặt xung quanh và một mặt đáy:

S=2πRh+πR2=2π⋅0,4⋅1+π⋅0,42=0,8π+0,16π=0,96π≈3,02 (m2).S = 2\pi R h + \pi R^2 = 2\pi \cdot 0{,}4 \cdot 1 + \pi \cdot 0{,}4^2 = 0{,}8\pi + 0{,}16\pi = 0{,}96\pi \approx 3{,}02 \text{ (m}^2\text{)}.

Bài 10.27. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh aa. Tính thể tích của hình nón có đỉnh là tâm OO của hình vuông ABCDABCD và đáy là hình tròn tiếp xúc với các cạnh của hình vuông A′B′C′D′A'B'C'D'.

Lời giải:

Hình tròn đáy nội tiếp hình vuông A′B′C′D′A'B'C'D' cạnh aa nên có bán kính r=a2r = \dfrac{a}{2}.

Chiều cao hình nón là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của hình lập phương: h=ah = a.

V=13πr2h=13π⋅a24⋅a=πa312.V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{\pi a^3}{12}.

Bài 10.28. Bạn Khôi cho một hòn đá cảnh vào một bể nuôi cá hình trụ có đường kính đáy bằng 2020 cm thì nước trong bể dâng lên 33 cm. Hỏi hòn đá cảnh đó có thể tích bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Thể tích hòn đá bằng thể tích phần nước dâng lên — một lớp hình trụ có bán kính đáy R=10R = 10 cm và chiều cao 33 cm:

V=πR2⋅3=π⋅100⋅3=300π≈942,5 (cm3).V = \pi R^2 \cdot 3 = \pi \cdot 100 \cdot 3 = 300\pi \approx 942{,}5 \text{ (cm}^3\text{)}.

Bài 10.29. Một chiếc kem ốc quế gồm hai phần: phần phía dưới dạng hình nón có chiều cao gấp đôi bán kính đáy, phần trên là nửa hình cầu có đường kính bằng đường kính đáy của hình nón phía dưới. Thể tích phần kem phía trên bằng 200200 cm³. Tính thể tích của cả chiếc kem.

Lời giải:

Gọi bán kính đáy hình nón (cũng là bán kính nửa hình cầu) là rr; chiều cao hình nón là h=2rh = 2r.

Thể tích nửa hình cầu: V1=12⋅43πr3=23πr3=200V_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3 = 200 (cm³).

Thể tích hình nón: V2=13πr2⋅2r=23πr3V_2 = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2r = \dfrac{2}{3}\pi r^3 — đúng bằng thể tích nửa hình cầu, tức V2=200V_2 = 200 cm³.

Vậy thể tích cả chiếc kem: V=V1+V2=200+200=400V = V_1 + V_2 = 200 + 200 = 400 (cm³).

Bài 10.30. Mái nhà hát Cao Văn Lầu (Bạc Liêu) có hình dáng ba chiếc nón lá lớn nhất Việt Nam. Tính diện tích một mái nhà hình nón có đường kính bằng 4545 m và chiều cao bằng 2424 m (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của m²).

Lời giải:

Bán kính đáy: r=452=22,5r = \dfrac{45}{2} = 22{,}5 (m). Độ dài đường sinh:

l=r2+h2=22,52+242=506,25+576=1 082,25≈32,9 (m).l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{22{,}5^2 + 24^2} = \sqrt{506{,}25 + 576} = \sqrt{1\,082{,}25} \approx 32{,}9 \text{ (m)}.

Diện tích mái nhà (diện tích xung quanh hình nón):

Sxq=πrl≈π⋅22,5⋅32,9≈2 325 (m2).S_{xq} = \pi r l \approx \pi \cdot 22{,}5 \cdot 32{,}9 \approx 2\,325 \text{ (m}^2\text{)}.