Hoạt động thực hành trải nghiệm: Giải phương trình, hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với GeoGebra

Các lệnh cơ bản (cửa sổ CAS):

  • Giải phương trình một ẩn: Solve(<phương trình>) hoặc Solutions(<phương trình>). Kết quả hiển thị dạng tập hợp; kí hiệu {} nghĩa là phương trình vô nghiệm.
  • Giải hệ hai phương trình: Solve({<pt 1>, <pt 2>}, {x, y}) hoặc Solutions({<pt 1>, <pt 2>}, {x, y}).
  • Tìm giao điểm hai đồ thị: Intersect(<hàm số 1>, <hàm số 2>).
  • Nhập căn bậc hai của aa: gõ sqrt(a); nhập x2x^2: gõ x^2.
  • Giao diện tiếng Việt: Options → Language → Vietnamese; khi đó các lệnh tương ứng là Giai(...), CacNghiem(...), GiaoDiem(...).

Để vẽ đồ thị: chọn đồng thời hai chế độ Graphic 2 và CAS, nhập công thức hàm số (ví dụ g: y = 2x^2 và h: y = -x + 1) vào ô lệnh CAS rồi nháy nút tròn ở đầu ô lệnh để hiển thị đồ thị.

Thực hành

Câu 1. Giải các phương trình sau (bằng lệnh Solve/Solutions, kết quả đối chiếu như dưới đây):

a) x2−4x+10=0x^2 - 4x + 10 = 0;

b) x+9x−1=7x + \dfrac{9}{x-1} = 7;

c) x2−2(3−1)x−23=0x^2 - 2(\sqrt{3} - 1)x - 2\sqrt{3} = 0;

d) x+1x−1−x−1x+1=4x2−1\dfrac{x+1}{x-1} - \dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{4}{x^2-1}.

Lời giải:

a) Nhập Solutions(x^2 - 4x + 10 = 0), kết quả {}. Thật vậy, Δ′=4−10=−6<0\Delta' = 4 - 10 = -6 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

b) Nhập Solutions(x + 9/(x-1) = 7), kết quả {4}. Kiểm tra: với điều kiện x≠1x \ne 1, quy đồng ta được x2−x+9=7x−7x^2 - x + 9 = 7x - 7, tức x2−8x+16=0  ⟺  (x−4)2=0  ⟺  x=4x^2 - 8x + 16 = 0 \iff (x-4)^2 = 0 \iff x = 4 (thỏa mãn). Thử lại: 4+93=74 + \dfrac{9}{3} = 7 ✓.

c) Nhập Solutions(x^2 - 2(sqrt(3)-1)x - 2sqrt(3) = 0), kết quả {3−3; 3+1}\{\sqrt{3} - 3;\ \sqrt{3} + 1\}. Thật vậy: Δ′=(3−1)2+23=4−23+23=4\Delta' = (\sqrt{3}-1)^2 + 2\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4, nên x=(3−1)±2x = (\sqrt{3} - 1) \pm 2, tức x1=3+1x_1 = \sqrt{3} + 1; x2=3−3x_2 = \sqrt{3} - 3.

d) Điều kiện x≠±1x \ne \pm 1. Quy đồng: (x+1)2−(x−1)2=4  ⟺  4x=4  ⟺  x=1(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4 \iff 4x = 4 \iff x = 1 — không thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 2. Giải các hệ phương trình sau (bằng lệnh Solve({...}, {x, y})):

a) {3x−2y=42x+y=5\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 2x + y = 5 \end{cases} c) {3x+2y=02x−3y=0\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases} d) {x5−(1+3)y=1(1−3)x+y5=1\begin{cases} x\sqrt{5} - (1+\sqrt{3})y = 1 \\ (1-\sqrt{3})x + y\sqrt{5} = 1 \end{cases}

Lời giải:

a) Nhập Solve({3x - 2y = 4, 2x + y = 5}, {x, y}), kết quả {(2; 1)}\{(2;\ 1)\}. Kiểm tra: từ phương trình thứ hai y=5−2xy = 5 - 2x; thay vào phương trình thứ nhất: 3x−10+4x=4  ⟺  7x=14  ⟺  x=23x - 10 + 4x = 4 \iff 7x = 14 \iff x = 2, suy ra y=1y = 1 ✓.

c) Nhập Solve({3x + 2y = 0, 2x - 3y = 0}, {x, y}), kết quả {(0; 0)}\{(0;\ 0)\}. Hai đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc khác nhau nên hệ có nghiệm duy nhất x=0x = 0; y=0y = 0.

d) Nhập Solve({sqrt(5)x - (1+sqrt(3))y = 1, (1-sqrt(3))x + sqrt(5)y = 1}, {x, y}). Giải tay để đối chiếu (quy tắc Cramer):

D=5⋅5+(1+3)(1−3)=5+(1−3)=3;D = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + (1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 5 + (1 - 3) = 3;

Dx=5+(1+3);Dy=5−(1−3).D_x = \sqrt{5} + (1+\sqrt{3}); \qquad D_y = \sqrt{5} - (1-\sqrt{3}).

Vậy hệ có nghiệm:

x=5+3+13≈1,66;y=5+3−13≈0,99.x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + 1}{3} \approx 1{,}66; \qquad y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} - 1}{3} \approx 0{,}99.

Câu 3. Cho đường thẳng (d) ⁣:y=2x+3(d)\colon y = 2x + \sqrt{3} và parabol (P) ⁣:y=x2(P)\colon y = x^2.

a) Vẽ đường thẳng (d)(d) và parabol (P)(P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (d)(d) và (P)(P).

Lời giải:

a) Trong cửa sổ CAS nhập hai ô lệnh f: y = x^2 và g: y = 2x + sqrt(3) rồi bật nút hiển thị để vẽ hai đồ thị trong cửa sổ Graphic 2: parabol (P)(P) có bề lõm quay lên, đỉnh tại gốc tọa độ; đường thẳng (d)(d) cắt trục tung tại (0;3)(0; \sqrt{3}).

b) Nhập Intersect(y = x^2, y = 2x + sqrt(3)). Phương trình hoành độ giao điểm:

x2=2x+3  ⟺  x2−2x−3=0,Δ′=1+3  ⟹  x=1±1+3.x^2 = 2x + \sqrt{3} \iff x^2 - 2x - \sqrt{3} = 0, \qquad \Delta' = 1 + \sqrt{3} \implies x = 1 \pm \sqrt{1 + \sqrt{3}}.

Vậy (d)(d) cắt (P)(P) tại hai điểm:

(1+1+3; (1+1+3)2)≈(2,65; 7,04);(1−1+3; (1−1+3)2)≈(−0,65; 0,43).\left(1 + \sqrt{1+\sqrt{3}};\ \left(1 + \sqrt{1+\sqrt{3}}\right)^2\right) \approx (2{,}65;\ 7{,}04); \qquad \left(1 - \sqrt{1+\sqrt{3}};\ \left(1 - \sqrt{1+\sqrt{3}}\right)^2\right) \approx (-0{,}65;\ 0{,}43).

Vẽ hình đơn giản với GeoGebra

HĐ1. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác:

  • Bước 1. Vẽ tam giác ABCABC: chọn công cụ Đa giác, lần lượt nháy chuột chọn ba điểm AA, BB, CC rồi nháy lại vào điểm AA.
  • Bước 2. Vẽ đường tròn ngoại tiếp: chọn công cụ Đường tròn đi qua 33 điểm, lần lượt nháy vào AA, BB, CC.
  • Bước 3. Hiển thị tâm: chọn công cụ Điểm → Trung điểm hoặc tâm, nháy vào đường tròn vừa vẽ để hiện tâm DD.

Ví dụ với A=(8;1)A = (8; 1), B=(6;−3)B = (6; -3), C=(12;−3)C = (12; -3), phần mềm cho tâm D=(9;−2)D = (9; -2) và đường tròn ngoại tiếp có phương trình (x−9)2+(y+2)2=25(x-9)^2 + (y+2)^2 = 25, tức bán kính bằng 55.