Thực hành 2 (Excel)

Thời gian chờ của bệnh nhân tại một phòng khám bệnh được cho trong bảng tần số tương đối ghép nhóm:

Thời gian (phút) [0;10)[0; 10) [10;20)[10; 20) [20;30)[20; 30) [30;40)[30; 40)
Tần số tương đối 50%50\% 10%10\% 24%24\% 16%16\%

Dùng Excel: nhập bảng, chọn vùng dữ liệu rồi Insert → Column → chọn Layout histogram để vẽ biểu đồ cột (bốn cột kề nhau cao 5050; 1010; 2424; 1616); Insert → Line để vẽ biểu đồ đoạn thẳng nối các điểm ứng với giá trị đại diện 55; 1515; 2525; 3535. Hoàn thiện tiêu đề "Thời gian chờ của bệnh nhân". Nhận xét: nhóm [0;10)[0; 10) phút chiếm tỉ lệ cao nhất (50%50\%).

Gene trội trong các thế hệ lai — Giải thích quy luật Mendel bằng xác suất

Lai cây đậu Hà Lan hoa đỏ thuần chủng (AA) với cây hoa trắng thuần chủng (aa): đời F1F_1 đều có kiểu gene Aa (hoa đỏ). Cho F1F_1 tự thụ phấn, mỗi cây con F2F_2 nhận ngẫu nhiên một allele từ "bố" và một allele từ "mẹ", mỗi allele là A hoặc a với khả năng như nhau.

a) Các phương án tổ hợp kiểu gene F2F_2:

"mẹ" \ "bố" A a
A AA Aa
a aA aa

Không gian mẫu có 44 kết quả đồng khả năng: AA, Aa, aA, aa.

b) Tính xác suất:

  • Kiểu gene AA: chỉ có 11 kết quả → P(AA)=14P(\text{AA}) = \dfrac{1}{4};
  • Kiểu gene aa: chỉ có 11 kết quả → P(aa)=14P(\text{aa}) = \dfrac{1}{4};
  • Kiểu gene Aa (gồm Aa và aA): 22 kết quả → P(Aa)=24=12P(\text{Aa}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2};
  • Hoa đỏ (kiểu gene có ít nhất một allele trội A: AA, Aa, aA): 33 kết quả → P(đỏ)=34P(\text{đỏ}) = \dfrac{3}{4};
  • Hoa trắng (kiểu gene aa): 11 kết quả → P(tra˘ˊng)=14P(\text{trắng}) = \dfrac{1}{4}.

c) So sánh với kết luận của Mendel:

Tỉ lệ kiểu gene F2F_2 là AA:Aa:aa=14:12:14=1:2:1\text{AA} : \text{Aa} : \text{aa} = \dfrac{1}{4} : \dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{4} = 1 : 2 : 1; tỉ lệ kiểu hình hoa đỏ : hoa trắng =34:14=3:1= \dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{4} = 3 : 1.

Kết quả này đúng với kết luận của Mendel: khi lai bố mẹ khác nhau về một cặp tính trạng thuần chủng tương phản thì F1F_1 đồng tính, còn F2F_2 phân li theo tỉ lệ trung bình 33 trội :1: 1 lặn.

Bài tập ôn tập cuối năm (Đại số)

Bài 1. Xét biểu thức P=xx−x+2x+4xx+8P = \dfrac{x\sqrt{x} - x + 2\sqrt{x} + 4}{x\sqrt{x} + 8} với x≥0x \ge 0.

a) Chứng minh rằng P=1−1x+2P = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}.

b) Tính giá trị của PP tại x=64x = 64.

Lời giải:

a) Đặt t=x≥0t = \sqrt{x} \ge 0. Mẫu xx+8=t3+8=(t+2)(t2−2t+4)x\sqrt{x} + 8 = t^3 + 8 = (t + 2)(t^2 - 2t + 4).

Tử xx−x+2x+4=t3−t2+2t+4x\sqrt{x} - x + 2\sqrt{x} + 4 = t^3 - t^2 + 2t + 4. Chia tử cho (t+2)(t + 2):

t3−t2+2t+4=(t+2)(t2−3t+8)−12?t^3 - t^2 + 2t + 4 = (t + 2)(t^2 - 3t + 8) - 12 \quad ?

Ta khai triển trực tiếp theo hướng cần chứng minh: 1−1t+2=t+1t+21 - \dfrac{1}{t+2} = \dfrac{t+1}{t+2}. Nhân với mẫu:

t+1t+2=(t+1)(t2−2t+4)(t+2)(t2−2t+4)=t3−t2+2t+4t3+8.\frac{t+1}{t+2} = \frac{(t+1)(t^2 - 2t + 4)}{(t+2)(t^2 - 2t + 4)} = \frac{t^3 - t^2 + 2t + 4}{t^3 + 8}.

Tử vế phải: (t+1)(t2−2t+4)=t3−2t2+4t+t2−2t+4=t3−t2+2t+4(t+1)(t^2 - 2t + 4) = t^3 - 2t^2 + 4t + t^2 - 2t + 4 = t^3 - t^2 + 2t + 4 — đúng bằng tử của PP. Vậy P=t+1t+2=1−1x+2P = \dfrac{t+1}{t+2} = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} (điều phải chứng minh).

b) Tại x=64x = 64 thì x=8\sqrt{x} = 8: P=1−18+2=1−110=910P = 1 - \dfrac{1}{8 + 2} = 1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}.

Bài 2. Một vệ tinh địa tĩnh chuyển động theo quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng AB=36 000AB = 36\,000 km, tâm quỹ đạo trùng với tâm OO của Trái Đất. Vệ tinh phát tín hiệu theo đường thẳng. Cho bán kính Trái Đất khoảng 6 4006\,400 km, vị trí xa nhất trên bề mặt Trái Đất có thể nhận được tín hiệu từ vệ tinh cách vệ tinh bao nhiêu kilômét? (Làm tròn đến hàng đơn vị.)

Lời giải:

Gọi AA là vị trí vệ tinh, OO là tâm Trái Đất. Vị trí xa nhất nhận được tín hiệu là điểm CC trên bề mặt Trái Đất mà tại đó đường thẳng ACAC tiếp xúc với mặt Trái Đất, nên OC⊥ACOC \perp AC với OC=6 400OC = 6\,400 km (bán kính).

Khoảng cách từ vệ tinh đến tâm: OA=OB+AB=6 400+36 000=42 400OA = OB + AB = 6\,400 + 36\,000 = 42\,400 (km).

Trong tam giác vuông OCAOCA (vuông tại CC):

AC=OA2−OC2=42 4002−6 4002=1 797 760 000−40 960 000=1 756 800 000≈41 915 (km).AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{42\,400^2 - 6\,400^2} = \sqrt{1\,797\,760\,000 - 40\,960\,000} = \sqrt{1\,756\,800\,000} \approx 41\,915 \text{ (km)}.

Vậy vị trí xa nhất cách vệ tinh khoảng 41 91541\,915 km.

Bài 3. Giải các bất phương trình:

a) −6x+3(x+1)>4x−(x−4)-6x + 3(x + 1) > 4x - (x - 4);

b) (2x+1)(2x−1)<4x2−4x+1(2x + 1)(2x - 1) < 4x^2 - 4x + 1.

Lời giải:

a) −6x+3x+3>4x−x+4  ⟺  −3x+3>3x+4  ⟺  −6x>1  ⟺  x<−16-6x + 3x + 3 > 4x - x + 4 \iff -3x + 3 > 3x + 4 \iff -6x > 1 \iff x < -\dfrac{1}{6}.

b) 4x2−1<4x2−4x+1  ⟺  −1<−4x+1  ⟺  4x<2  ⟺  x<124x^2 - 1 < 4x^2 - 4x + 1 \iff -1 < -4x + 1 \iff 4x < 2 \iff x < \dfrac{1}{2}.

Bài 4. Giải các phương trình:

a) 2x+1−2xx2−x+1=3x3+1\dfrac{2}{x+1} - \dfrac{2x}{x^2 - x + 1} = \dfrac{3}{x^3 + 1};

b) x+12x−1−22x+1=2x24x2−1\dfrac{x+1}{2x-1} - \dfrac{2}{2x+1} = \dfrac{2x^2}{4x^2 - 1}.

Lời giải:

a) Điều kiện x≠−1x \ne -1. Vì x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1), quy đồng:

2(x2−x+1)−2x(x+1)=3  ⟺  2x2−2x+2−2x2−2x=3  ⟺  −4x+2=3  ⟺  x=−14.2(x^2 - x + 1) - 2x(x+1) = 3 \iff 2x^2 - 2x + 2 - 2x^2 - 2x = 3 \iff -4x + 2 = 3 \iff x = -\frac{1}{4}.

x=−14x = -\dfrac{1}{4} thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm là x=−14x = -\dfrac{1}{4}.

b) Điều kiện x≠±12x \ne \pm\dfrac{1}{2}. Vì 4x2−1=(2x−1)(2x+1)4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1), quy đồng:

(x+1)(2x+1)−2(2x−1)=2x2  ⟺  2x2+3x+1−4x+2=2x2  ⟺  −x+3=0  ⟺  x=3.(x+1)(2x+1) - 2(2x-1) = 2x^2 \iff 2x^2 + 3x + 1 - 4x + 2 = 2x^2 \iff -x + 3 = 0 \iff x = 3.

x=3x = 3 thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm là x=3x = 3.

Bài 5. Kí hiệu (d1)(d_1) là đường thẳng x+2y=4x + 2y = 4, (d2)(d_2) là đường thẳng x−y=1x - y = 1.

a) Vẽ (d1)(d_1) và (d2)(d_2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Giải hệ để tìm tọa độ giao điểm của (d1)(d_1) và (d2)(d_2).

Lời giải:

a) (d1) ⁣:y=4−x2(d_1)\colon y = \dfrac{4 - x}{2} đi qua (0;2)(0; 2) và (4;0)(4; 0); (d2) ⁣:y=x−1(d_2)\colon y = x - 1 đi qua (0;−1)(0; -1) và (1;0)(1; 0).

b) Trừ hai phương trình: (x+2y)−(x−y)=4−1  ⟺  3y=3  ⟺  y=1(x + 2y) - (x - y) = 4 - 1 \iff 3y = 3 \iff y = 1; suy ra x=y+1=2x = y + 1 = 2.

Vậy giao điểm của (d1)(d_1) và (d2)(d_2) là (2;1)(2; 1).

Bài 6. Với mỗi giá trị của mm, giải hệ {x2−3y=mm2x−3y2=2\begin{cases} x\sqrt{2} - 3y = m \\ m^2 x - 3y\sqrt{2} = 2 \end{cases} khi:

a) m=2m = \sqrt{2}; b) m=−2m = -\sqrt{2}; c) m=22m = 2\sqrt{2}.

Lời giải:

a) m=2m = \sqrt{2} (m2=2m^2 = 2): {x2−3y=22x−3y2=2\begin{cases} x\sqrt{2} - 3y = \sqrt{2} \\ 2x - 3y\sqrt{2} = 2 \end{cases}. Từ phương trình đầu x2=2+3yx\sqrt{2} = \sqrt{2} + 3y, nhân 2\sqrt{2}: 2x=2+3y22x = 2 + 3y\sqrt{2}, thay vào phương trình sau: 2+3y2−3y2=2  ⟺  2=22 + 3y\sqrt{2} - 3y\sqrt{2} = 2 \iff 2 = 2 (luôn đúng). Hệ có vô số nghiệm: x=1+3y2x = 1 + \dfrac{3y}{\sqrt{2}} với yy tùy ý.

b) m=−2m = -\sqrt{2} (m2=2m^2 = 2): {x2−3y=−22x−3y2=2\begin{cases} x\sqrt{2} - 3y = -\sqrt{2} \\ 2x - 3y\sqrt{2} = 2 \end{cases}. Từ phương trình đầu, nhân 2\sqrt{2}: 2x−3y2=−22x - 3y\sqrt{2} = -2. Kết hợp phương trình sau 2x−3y2=22x - 3y\sqrt{2} = 2 suy ra −2=2-2 = 2 (vô lí). Hệ vô nghiệm.

c) m=22m = 2\sqrt{2} (m2=8m^2 = 8): {x2−3y=228x−3y2=2\begin{cases} x\sqrt{2} - 3y = 2\sqrt{2} \\ 8x - 3y\sqrt{2} = 2 \end{cases}. Nhân phương trình đầu với 2\sqrt{2}: 2x−3y2=42x - 3y\sqrt{2} = 4. Trừ với phương trình sau: (8x−3y2)−(2x−3y2)=2−4  ⟺  6x=−2  ⟺  x=−13(8x - 3y\sqrt{2}) - (2x - 3y\sqrt{2}) = 2 - 4 \iff 6x = -2 \iff x = -\dfrac{1}{3}. Thay vào x2−3y=22x\sqrt{2} - 3y = 2\sqrt{2}: −23−3y=22  ⟺  3y=−723  ⟺  y=−729-\dfrac{\sqrt{2}}{3} - 3y = 2\sqrt{2} \iff 3y = -\dfrac{7\sqrt{2}}{3} \iff y = -\dfrac{7\sqrt{2}}{9}.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (−13; −729)\left(-\dfrac{1}{3};\ -\dfrac{7\sqrt{2}}{9}\right).

Bài 7. Chú Ba dự tính tổng diện tích xây dựng khoảng 100100 m² với tổng chi phí 600600 triệu đồng. Khi thực hiện, diện tích tăng thêm 2020 m² và mỗi mét vuông, tiền vật liệu tăng 10%10\%, tiền công thợ tăng 15\dfrac{1}{5} so với dự tính. Tổng chi phí thực tế là 804804 triệu đồng. Hỏi thực tế chú Ba phải trả bao nhiêu tiền vật liệu và bao nhiêu tiền công thợ cho mỗi mét vuông?

Lời giải:

Gọi tiền vật liệu và tiền công thợ dự tính cho mỗi mét vuông lần lượt là xx và yy (triệu đồng, x,y>0x, y > 0).

Theo dự tính (100100 m²): 100(x+y)=600  ⟺  x+y=6100(x + y) = 600 \iff x + y = 6. (1)\quad(1)

Khi thực hiện: diện tích 120120 m²; mỗi mét vuông tiền vật liệu là 1,1x1{,}1x, tiền công thợ là 1,2y1{,}2y. Tổng chi phí thực tế:

120(1,1x+1,2y)=804  ⟺  1,1x+1,2y=6,7.(2)120(1{,}1x + 1{,}2y) = 804 \iff 1{,}1x + 1{,}2y = 6{,}7. \quad(2)

Từ (1): x=6−yx = 6 - y; thay vào (2): 1,1(6−y)+1,2y=6,7  ⟺  6,6+0,1y=6,7  ⟺  y=11{,}1(6 - y) + 1{,}2y = 6{,}7 \iff 6{,}6 + 0{,}1y = 6{,}7 \iff y = 1, suy ra x=5x = 5.

Thực tế mỗi mét vuông: tiền vật liệu 1,1⋅5=5,51{,}1 \cdot 5 = 5{,}5 triệu đồng; tiền công thợ 1,2⋅1=1,21{,}2 \cdot 1 = 1{,}2 triệu đồng.