Bài tập ôn tập cuối năm (tiếp)

Bài 8. Hai bến A và B trên một dòng sông cách nhau 3636 km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng từ B về A hết thời gian bằng thời gian nó đi quãng đường 7575 km khi nước yên lặng. Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước là 33 km/h.

Lời giải:

Gọi vận tốc thực của ca nô là xx (km/h, x>3x > 3). Vận tốc xuôi dòng là x+3x + 3, ngược dòng là x−3x - 3.

Thời gian đi 7575 km khi nước yên lặng là 75x\dfrac{75}{x}. Theo đề bài:

36x+3+36x−3=75x.\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = \frac{75}{x}.

Nhân hai vế với x(x+3)(x−3)x(x+3)(x-3):

36x(x−3)+36x(x+3)=75(x2−9)  ⟺  72x2=75x2−675  ⟺  3x2=675  ⟺  x2=225  ⟺  x=15.36x(x-3) + 36x(x+3) = 75(x^2 - 9) \iff 72x^2 = 75x^2 - 675 \iff 3x^2 = 675 \iff x^2 = 225 \iff x = 15.

Vậy vận tốc thực của ca nô là 1515 km/h (thỏa mãn x>3x > 3).

Bài 9. Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B không tới được, một người đứng ở điểm HH sao cho BB nằm giữa AA và HH, rồi dịch đến điểm KK sao cho KH⊥ABKH \perp AB tại HH, HK=aHK = a (m), ngắm AA với AKH^=α\widehat{AKH} = \alpha, ngắm BB với BKH^=β\widehat{BKH} = \beta (α>β\alpha > \beta).

a) Hãy biểu diễn ABAB theo aa, α\alpha, β\beta.

b) Khi a=3a = 3 m, α=60∘\alpha = 60^\circ, β=30∘\beta = 30^\circ, hãy tính ABAB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba của mét).

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông AKHAKH (vuông tại HH): AH=HKtan⁡α=atan⁡αAH = HK \tan\alpha = a\tan\alpha.

Trong tam giác vuông BKHBKH (vuông tại HH): BH=HKtan⁡β=atan⁡βBH = HK \tan\beta = a\tan\beta.

Vì BB nằm giữa AA và HH nên AB=AH−BH=a(tan⁡α−tan⁡β)AB = AH - BH = a(\tan\alpha - \tan\beta).

b) AB=3(tan⁡60∘−tan⁡30∘)=3(3−33)=3⋅233=23≈3,464AB = 3(\tan 60^\circ - \tan 30^\circ) = 3\left(\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) = 3 \cdot \dfrac{2\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}464 (m).

Bài 10. Cho tam giác ABCABC vuông tại BB có A^=30∘\widehat{A} = 30^\circ, AB=6AB = 6 cm. Vẽ tia BtBt sao cho tBC^=30∘\widehat{tBC} = 30^\circ, cắt tia ACAC ở DD (CC nằm giữa AA và DD).

a) Chứng minh tam giác ABDABD cân tại BB.

b) Tính khoảng cách từ DD đến đường thẳng ABAB.

Lời giải:

a) Ta có ABC^=90∘\widehat{ABC} = 90^\circ và DBC^=30∘\widehat{DBC} = 30^\circ, hai tia BABA, BDBD nằm về hai phía nên ABD^=ABC^+CBD^=90∘+30∘=120∘\widehat{ABD} = \widehat{ABC} + \widehat{CBD} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ.

Trong tam giác ABDABD: ADB^=180∘−A^−ABD^=180∘−30∘−120∘=30∘=A^\widehat{ADB} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{ABD} = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ = \widehat{A}.

Tam giác ABDABD có DAB^=ADB^=30∘\widehat{DAB} = \widehat{ADB} = 30^\circ nên cân tại BB (BA=BDBA = BD).

b) Kẻ DH⊥ABDH \perp AB tại HH — DHDH là khoảng cách từ DD đến đường thẳng ABAB. Tam giác ADHADH vuông tại HH có DAH^=30∘\widehat{DAH} = 30^\circ.

Tam giác ABDABD cân tại BB với góc ở đỉnh ABD^=120∘\widehat{ABD} = 120^\circ; hạ đường cao BMBM xuống ADAD thì AM=ABcos⁡30∘=6⋅32=33AM = AB\cos 30^\circ = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}, nên AD=2AM=63AD = 2AM = 6\sqrt{3} cm.

Vậy DH=ADsin⁡DAH^=63⋅sin⁡30∘=63⋅12=33≈5,196DH = AD \sin\widehat{DAH} = 6\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = 6\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196 (cm).

Bài 11. Tứ giác ABCDABCD có hai góc đối diện BB và DD vuông, hai góc kia không vuông.

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm AA, BB, CC, DD (gọi là (C)(\mathcal{C})).

b) Gọi II, KK lần lượt là trung điểm các đường chéo ACAC, BDBD. Chứng minh IK⊥BDIK \perp BD.

Lời giải:

a) Vì B^=D^=90∘\widehat{B} = \widehat{D} = 90^\circ nên hai điểm BB, DD cùng nhìn đoạn ACAC dưới một góc vuông. Do đó BB, DD nằm trên đường tròn đường kính ACAC; đường tròn này (tâm II là trung điểm ACAC) đi qua cả bốn điểm AA, BB, CC, DD.

b) BDBD là một dây của đường tròn (C)(\mathcal{C}) có tâm II; KK là trung điểm của dây BDBD. Theo tính chất "đường nối tâm với trung điểm một dây thì vuông góc với dây đó", ta có IK⊥BDIK \perp BD (điều phải chứng minh).

Bài 12. Tỉ lệ các loại quả bán được trong một ngày của một cửa hàng: Lê 10%10\%, Táo 20%20\%, Nho 30%30\%, Nhãn 40%40\%.

a) Tính số đo mỗi cung tròn ứng với các hình quạt màu tím (Lê), màu cam (Táo) và màu đỏ (Nho).

b) Tính số đo cung còn lại (hình quạt màu xanh, ứng với Nhãn) bằng hai cách.

Lời giải:

a) Số đo cung bằng 360∘360^\circ nhân với tỉ lệ:

  • Lê: 360∘⋅10%=36∘360^\circ \cdot 10\% = 36^\circ;
  • Táo: 360∘⋅20%=72∘360^\circ \cdot 20\% = 72^\circ;
  • Nho: 360∘⋅30%=108∘360^\circ \cdot 30\% = 108^\circ.

b) Cung ứng với Nhãn:

  • Cách 1: 360∘⋅40%=144∘360^\circ \cdot 40\% = 144^\circ;
  • Cách 2: 360∘−36∘−72∘−108∘=144∘360^\circ - 36^\circ - 72^\circ - 108^\circ = 144^\circ.

Hai cách cho cùng kết quả 144∘144^\circ.

Bài 14. Bạn Khôi làm một chiếc mũ sinh nhật bằng bìa cứng có dạng hình nón với đường kính đáy bằng 2020 cm, độ dài đường sinh bằng 3030 cm. Tính diện tích giấy để làm chiếc mũ (lấy π≈3,14\pi \approx 3{,}14, coi mép dán không đáng kể).

Lời giải:

Bán kính đáy: r=202=10r = \dfrac{20}{2} = 10 cm. Chiếc mũ chỉ có mặt xung quanh (không có đáy):

Sxq=πrl≈3,14⋅10⋅30=942 (cm2).S_{xq} = \pi r l \approx 3{,}14 \cdot 10 \cdot 30 = 942 \text{ (cm}^2\text{)}.

Bài 15. Chiều cao (cm) của 2020 bé trai 2424 tháng tuổi được cho trong bảng. Theo WHO: dưới 81,781{,}7 cm là thấp còi; từ 81,781{,}7 đến dưới 93,993{,}9 cm là đạt chuẩn; từ 93,993{,}9 cm trở lên là cao.

Dãy dữ liệu: 85,285{,}2; 87,987{,}9; 80,380{,}3; 92,192{,}1; 93,793{,}7; 88,588{,}5; 94,294{,}2; 83,083{,}0; 95,195{,}1; 84,684{,}6; 84,184{,}1; 89,689{,}6; 87,587{,}5; 90,390{,}3; 81,281{,}2; 87,687{,}6; 93,593{,}5; 84,884{,}8; 94,494{,}4; 85,185{,}1.

a) Hoàn thiện bảng phân loại theo chiều cao.

b) Tính tỉ lệ theo các mức phân loại và vẽ biểu đồ hình quạt tròn.

c) Ước lượng số bé trai mỗi loại trong 200200 bé trai 2424 tháng tuổi.

Lời giải:

a) Đếm theo các mức:

  • Thấp còi (dưới 81,781{,}7): 80,380{,}3; 81,281{,}2 — 22 trẻ;
  • Cao (từ 93,993{,}9 trở lên): 94,294{,}2; 95,195{,}1; 94,494{,}4 — 33 trẻ;
  • Đạt chuẩn (còn lại): 20−2−3=1520 - 2 - 3 = 15 trẻ.
Phân loại Thấp còi Đạt chuẩn Cao
Số trẻ 22 1515 33

b) Tần số tương đối: thấp còi 220=10%\dfrac{2}{20} = 10\%; đạt chuẩn 1520=75%\dfrac{15}{20} = 75\%; cao 320=15%\dfrac{3}{20} = 15\%.

Số đo cung của hình quạt tròn: 360∘⋅10%=36∘360^\circ \cdot 10\% = 36^\circ; 360∘⋅75%=270∘360^\circ \cdot 75\% = 270^\circ; 360∘⋅15%=54∘360^\circ \cdot 15\% = 54^\circ. Vẽ hình tròn chia thành ba hình quạt tương ứng, tô màu, ghi tỉ lệ và tiêu đề "Phân loại chiều cao bé trai 24 tháng tuổi".

c) Ước lượng trong 200200 bé trai: thấp còi 200⋅10%=20200 \cdot 10\% = 20 bé; đạt chuẩn 200⋅75%=150200 \cdot 75\% = 150 bé; cao 200⋅15%=30200 \cdot 15\% = 30 bé.

Bài 16. Một nhóm của lớp 9A có 33 bạn nam và 22 bạn nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 22 bạn trong nhóm để tham gia một phong trào của trường.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Tính xác suất để hai bạn được chọn khác giới.

Lời giải:

Kí hiệu ba bạn nam là AA, BB, CC và hai bạn nữ là DD, EE.

a) Không gian mẫu gồm các cách chọn 22 bạn (không kể thứ tự) từ 55 bạn:

Ω={AB;AC;AD;AE;BC;BD;BE;CD;CE;DE}\Omega = \{AB; AC; AD; AE; BC; BD; BE; CD; CE; DE\}

— có 1010 phần tử đồng khả năng.

b) Biến cố "hai bạn khác giới" gồm các cặp có một nam và một nữ: ADAD; AEAE; BDBD; BEBE; CDCD; CECE — có 66 kết quả thuận lợi (33 nam ×\times 22 nữ =6= 6).

Vậy xác suất cần tìm là P=610=35P = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}.