Giải Toán 9 Tập 2 trang 14-17 - Kết nối tri thức

Bài 19 (tiếp). Cách giải phương trình bậc hai

Luyện tập 2. Giải các phương trình sau: a) $2x^2 + 6x = 0$; b) $5x^2 + 11x = 0$.

Lời giải:

a) $2x^2 + 6x = 0 \iff 2x(x + 3) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -3$.

b) $5x^2 + 11x = 0 \iff x(5x + 11) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -\dfrac{11}{5}$.

---

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a) $x^2 - 9 = 0$; b) $(x+1)^2 = 3$.

Lời giải:

a) $x^2 - 9 = 0 \iff x^2 = 9 \iff x = 3$ hoặc $x = -3$.

b) $(x+1)^2 = 3 \iff x + 1 = \sqrt{3}$ hoặc $x + 1 = -\sqrt{3}$, tức $x = -1 + \sqrt{3}$ hoặc $x = -1 - \sqrt{3}$.

---

Luyện tập 3. Giải các phương trình sau: a) $x^2 - 25 = 0$; b) $(x+3)^2 = 5$.

Lời giải:

a) $x^2 = 25 \iff x = \pm 5$.

b) $x + 3 = \pm\sqrt{5} \iff x = -3 + \sqrt{5}$ hoặc $x = -3 - \sqrt{5}$.

---

Ví dụ 4. Cho phương trình $x^2 - 4x = 1$.

a) Cộng vào hai vế một số thích hợp để vế trái trở thành một bình phương.

b) Giải phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Cộng $4$ vào cả hai vế:

$$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4 \iff (x - 2)^2 = 5.$$

b) Suy ra $x - 2 = \pm\sqrt{5}$, tức $x = 2 + \sqrt{5}$ hoặc $x = 2 - \sqrt{5}$.

---

Luyện tập 4. Cho phương trình $x^2 + 6x = 1$. Cộng vào hai vế một số thích hợp rồi giải phương trình.

Lời giải:

Cộng $9$ vào cả hai vế:

$$x^2 + 6x + 9 = 1 + 9 \iff (x + 3)^2 = 10 \iff x = -3 \pm \sqrt{10}.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1 = -3 + \sqrt{10}$, $x_2 = -3 - \sqrt{10}$.

---

HĐ4. Giải phương trình $2x^2 - 8x + 3 = 0$ theo các bước.

Lời giải:

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: $2x^2 - 8x = -3$.

b) Chia hai vế cho $2$: $x^2 - 4x = -\dfrac{3}{2}$.

c) Cộng $4$ vào hai vế:

$$x^2 - 4x + 4 = 4 - \frac{3}{2} \iff (x-2)^2 = \frac{5}{2} \iff x - 2 = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}.$$

Vậy $x = \dfrac{4 + \sqrt{10}}{2}$ hoặc $x = \dfrac{4 - \sqrt{10}}{2}$.

---

Ví dụ 5. Cho phương trình $3x^2 + 7x - 1 = 0$.

Lời giải:

a) Các hệ số: $a = 3$, $b = 7$, $c = -1$.

b) $\Delta = b^2 - 4ac = 49 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 49 + 12 = 61 > 0$.

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{61}}{6}; \qquad x_2 = \frac{-7 - \sqrt{61}}{6}.$$

---

Ví dụ 6. Giải các phương trình: a) $x^2 - 6x + 9 = 0$; b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$.

Lời giải:

a) $\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 9 = 0$ → phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = \dfrac{6}{2} = 3$.

b) $\Delta = 9 - 40 = -31 < 0$ → phương trình vô nghiệm.

---

Luyện tập 5. Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình:

a) $2x^2 - 5x + 1 = 0$; b) $x^2 + 8x + 16 = 0$; c) $x^2 - x + 1 = 0$.

Lời giải:

a) $\Delta = 25 - 8 = 17 > 0$. Hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$.

b) $\Delta = 64 - 64 = 0$. Nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -4$.

c) $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$. Phương trình vô nghiệm.

---

Thử thách nhỏ. Có thể nói gì về nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ nếu $a$ và $c$ trái dấu?

Lời giải:

Nếu $a$ và $c$ trái dấu thì $ac < 0$, suy ra $-4ac > 0$, do đó:

$$\Delta = b^2 - 4ac \ge -4ac > 0.$$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Hơn nữa, tích hai nghiệm $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$ nên hai nghiệm này trái dấu.

---

Luyện tập 6. Xác định $a$, $b'$, $c$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) $3x^2 + 8x - 3 = 0$; b) $x^2 + 6\sqrt{2}x + 2 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 3$, $b' = 4$, $c = -3$; $\Delta' = 16 + 9 = 25 > 0$, $\sqrt{\Delta'} = 5$.

$$x_1 = \frac{-4 + 5}{3} = \frac{1}{3}; \qquad x_2 = \frac{-4 - 5}{3} = -3.$$

b) $a = 1$, $b' = 3\sqrt{2}$, $c = 2$; $\Delta' = 18 - 2 = 16 > 0$, $\sqrt{\Delta'} = 4$.

$$x_1 = -3\sqrt{2} + 4; \qquad x_2 = -3\sqrt{2} - 4.$$

---

Vận dụng. Giải bài toán trong tình huống mở đầu (bể bơi).

Lời giải:

Từ HĐ3, bề rộng $x$ (m) của đường đi thỏa mãn ($0 < x < 8$):

$$x^2 - 22x + 40 = 0.$$

$\Delta' = 121 - 40 = 81 > 0$, $\sqrt{\Delta'} = 9$:

$$x_1 = 11 + 9 = 20 \text{ (loại, vì } x < 8\text{)}; \qquad x_2 = 11 - 9 = 2 \text{ (thỏa mãn)}.$$

Thử lại: bể bơi có kích thước $(28 - 4) \times (16 - 4) = 24 \times 12 = 288$ m² ✓

Kết quả: bề rộng đường đi là $2$ m.

---

Ví dụ 8. Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các phương trình:

a) $2x^2 - 5x - 4 = 0$; b) $9x^2 - 12x + 4 = 0$; c) $-3x^2 + 4x - 2 = 0$.

Lời giải:

Chuyển máy về chế độ giải phương trình bậc hai, nhập lần lượt các hệ số:

a) $\Delta = 25 + 32 = 57 > 0$ → hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{57}}{4}$.

b) $\Delta' = 36 - 36 = 0$ → nghiệm kép: $x_1 = x_2 = \dfrac{2}{3}$.

c) $\Delta' = 4 - 6 = -2 < 0$ → phương trình vô nghiệm.