Giải Toán 9 Tập 2 trang 18-21 - Kết nối tri thức

Bài 19 (tiếp). Bài tập

Luyện tập 7. Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các phương trình:

a) $5x^2 + 2\sqrt{10}x + 2 = 0$; b) $3x^2 - 5x + 7 = 0$; c) $4x^2 - 4x + 1 = 0$.

Lời giải:

a) $\Delta' = (\sqrt{10})^2 - 5 \cdot 2 = 0$ → nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\dfrac{\sqrt{10}}{5}$.

b) $\Delta = 25 - 84 = -59 < 0$ → phương trình vô nghiệm.

c) $\Delta' = 4 - 4 = 0$ → nghiệm kép: $x_1 = x_2 = \dfrac{1}{2}$.

---

Bài 6.8. Đưa các phương trình sau về dạng $ax^2 + bx + c = 0$ và xác định các hệ số $a$, $b$, $c$:

a) $3x^2 + 2x - 1 = x^2 - x$; b) $(2x + 1)^2 = x^2 + 1$.

Lời giải:

a) $3x^2 + 2x - 1 - x^2 + x = 0 \iff 2x^2 + 3x - 1 = 0$, với $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$.

b) $4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 1 \iff 3x^2 + 4x = 0$, với $a = 3$, $b = 4$, $c = 0$.

---

Bài 6.9. Giải các phương trình sau: a) $2x^2 + \dfrac{1}{3}x = 0$; b) $(3x + 2)^2 = 5$.

Lời giải:

a) $x\left(2x + \dfrac{1}{3}\right) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -\dfrac{1}{6}$.

b) $3x + 2 = \pm\sqrt{5} \iff x = \dfrac{-2 + \sqrt{5}}{3}$ hoặc $x = \dfrac{-2 - \sqrt{5}}{3}$.

---

Bài 6.10. Không giải phương trình, xác định các hệ số, tính $\Delta$ và xác định số nghiệm:

a) $11x^2 + 13x - 1 = 0$; b) $9x^2 + 42x + 49 = 0$; c) $x^2 - 2x + 3 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 11$, $b = 13$, $c = -1$; $\Delta = 169 + 44 = 213 > 0$ → hai nghiệm phân biệt.

b) $a = 9$, $b = 42$, $c = 49$; $\Delta = 1764 - 1764 = 0$ → nghiệm kép.

c) $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$; $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$ → vô nghiệm.

---

Bài 6.11. Dùng công thức nghiệm giải các phương trình:

a) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 2 = 0$; b) $4x^2 + 28x + 49 = 0$; c) $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 = 0$.

Lời giải:

a) $\Delta' = (\sqrt{5})^2 - 2 = 3 > 0$ → $x_{1,2} = \sqrt{5} \pm \sqrt{3}$.

b) $\Delta' = 14^2 - 4 \cdot 49 = 196 - 196 = 0$ → nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{7}{2}$.

c) $\Delta = (3\sqrt{2})^2 - 12 = 18 - 12 = 6 > 0$ → $x_{1,2} = \dfrac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{6}$.

---

Bài 6.12. Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm:

a) $0{,}1x^2 + 2{,}5x - 0{,}2 = 0$; b) $0{,}01x^2 - 0{,}05x + 0{,}0625 = 0$; c) $1{,}2x^2 + 0{,}75x + 2{,}5 = 0$.

Lời giải:

a) $\Delta = 6{,}25 + 0{,}08 = 6{,}33 > 0$ → hai nghiệm phân biệt: $x_1 \approx 0{,}08$; $x_2 \approx -25{,}08$.

b) Nhân hai vế với $100$: $x^2 - 5x + 6{,}25 = 0$; $\Delta = 25 - 25 = 0$ → nghiệm kép $x_1 = x_2 = 2{,}5$.

c) $\Delta = 0{,}5625 - 12 = -11{,}4375 < 0$ → phương trình vô nghiệm.

---

Bài 6.13. Độ cao của vật phóng thẳng đứng: $h = 19{,}6t - 4{,}9t^2$. Hỏi sau bao lâu kể từ khi phóng, vật rơi trở lại mặt đất?

Lời giải:

Vật chạm đất khi $h = 0$:

$$19{,}6t - 4{,}9t^2 = 0 \iff 4{,}9t(4 - t) = 0 \iff t = 0 \text{ hoặc } t = 4.$$

$t = 0$ là thời điểm phóng, vậy vật rơi trở lại mặt đất sau $4$ giây.

Kết quả: sau $4$ giây.

---

Bài 6.14. Màn hình ti vi truyền thống $37$ in có định dạng $4:3$; ti vi LCD $37$ in có định dạng $16:9$. Tính diện tích mỗi màn hình (inch vuông) và so sánh.

Lời giải:

Ti vi $4:3$: gọi chiều dài, chiều rộng là $4k$ và $3k$. Theo định lí Pythagore:

$$(4k)^2 + (3k)^2 = 37^2 \iff 25k^2 = 1369 \iff k^2 = 54{,}76.$$

Diện tích: $S_1 = 4k \cdot 3k = 12k^2 = 12 \cdot 54{,}76 = 657{,}12$ (in²).

Ti vi $16:9$: gọi chiều dài, chiều rộng là $16m$ và $9m$:

$$(16m)^2 + (9m)^2 = 37^2 \iff 337m^2 = 1369 \iff m^2 = \frac{1369}{337} \approx 4{,}0623.$$

Diện tích: $S_2 = 16m \cdot 9m = 144m^2 \approx 144 \cdot 4{,}0623 \approx 585$ (in²).

So sánh: $S_1 \approx 657 > S_2 \approx 585$ — màn hình ti vi truyền thống $4:3$ có diện tích lớn hơn.

Kết quả: $S_{4:3} \approx 657$ in² $> S_{16:9} \approx 585$ in².

---

Luyện tập chung

Ví dụ 1. Cho hai hàm số $y = \dfrac{3}{2}x^2$ và $y = -x^2$.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm điểm $A$ thuộc đồ thị $y = \dfrac{3}{2}x^2$ và điểm $B$ thuộc đồ thị $y = -x^2$, biết cả hai đều có hoành độ $x = -\dfrac{3}{2}$.

Lời giải:

a) Bảng giá trị:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = \frac{3}{2}x^2$	$6$	$\frac{3}{2}$	$0$	$\frac{3}{2}$	$6$
$y = -x^2$	$-4$	$-1$	$0$	$-1$	$-4$

Đồ thị $y = \dfrac{3}{2}x^2$ là parabol nằm phía trên trục hoành; đồ thị $y = -x^2$ là parabol nằm phía dưới trục hoành; cả hai cùng đỉnh $O$, đối xứng qua $Oy$.

b) Với $x = -\dfrac{3}{2}$:

• $y_A = \dfrac{3}{2}\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{27}{8}$ → $A\left(-\dfrac{3}{2}; \dfrac{27}{8}\right)$.
• $y_B = -\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = -\dfrac{9}{4}$ → $B\left(-\dfrac{3}{2}; -\dfrac{9}{4}\right)$.

---

Ví dụ 2. Số lượng cá trong hồ theo mô hình $P = 50(100 + 15t - t^2)$ với $0 \le t \le 15$, $t$ là số năm tính từ 01/01/2020.

a) Vào thời điểm nào số lượng cá trong hồ là $7\,500$ con?

b) Vào thời điểm nào số lượng cá trở lại như ban đầu (01/01/2020)?

Lời giải:

a) $P = 7500$:

$$50(100 + 15t - t^2) = 7500 \iff 100 + 15t - t^2 = 150 \iff t^2 - 15t + 50 = 0.$$

$\Delta = 225 - 200 = 25$, $\sqrt{\Delta} = 5$: $t_1 = \dfrac{15+5}{2} = 10$; $t_2 = \dfrac{15-5}{2} = 5$ (cả hai thỏa $0 \le t \le 15$).

Vậy số cá đạt $7\,500$ con vào ngày 01/01/2025 ($t = 5$) và 01/01/2030 ($t = 10$).

b) Số cá ban đầu ($t = 0$): $P_0 = 50 \cdot 100 = 5000$ con. Ta cần $P = 5000$:

$$100 + 15t - t^2 = 100 \iff t(15 - t) = 0 \iff t = 0 \text{ hoặc } t = 15.$$

Vậy số cá trở lại mức ban đầu sau $15$ năm, tức vào ngày 01/01/2035.

---

Bài 6.16. Parabol $y = ax^2$ $(a \ne 0)$ đi qua điểm $A(2; 4\sqrt{3})$.

a) Tìm hệ số $a$ và vẽ đồ thị với $a$ vừa tìm.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x = -1$.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y = 5\sqrt{3}$.

Lời giải:

a) Thay tọa độ điểm $A$: $4\sqrt{3} = a \cdot 2^2 \implies a = \sqrt{3}$. Vậy $y = \sqrt{3}x^2$ — parabol đỉnh $O$, nằm phía trên trục hoành, đối xứng qua $Oy$ (bảng giá trị: $x = \pm 1 \to y = \sqrt{3}$; $x = \pm 2 \to y = 4\sqrt{3}$).

b) Với $x = -1$: $y = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

c) $\sqrt{3}x^2 = 5\sqrt{3} \iff x^2 = 5 \iff x = \pm\sqrt{5}$.

Hai điểm cần tìm: $\left(\sqrt{5};\, 5\sqrt{3}\right)$ và $\left(-\sqrt{5};\, 5\sqrt{3}\right)$.

Kết quả: a) $a = \sqrt{3}$; b) $y = \sqrt{3}$; c) $(\pm\sqrt{5};\, 5\sqrt{3})$.