Giải Toán 9 Tập 2 trang 22-25 - Kết nối tri thức

Bài tập (Bài 19)

Bài 6.17. Động năng $E = \dfrac{1}{2}mv^2$ (J) của vật khối lượng $m$ (kg) chuyển động với vận tốc $v$ (m/s).

a) Quả bóng khối lượng $2$ kg bay với vận tốc $6$ m/s. Tính động năng.

b) Động năng của quả bóng khối lượng $1{,}5$ kg là $48$ J. Tính vận tốc bay.

Lời giải:

a) $E = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^2 = 36$ (J).

b) $48 = \dfrac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot v^2 \iff v^2 = \dfrac{48 \cdot 2}{1{,}5} = 64 \iff v = 8$ (m/s).

Kết quả: a) $36$ J; b) $8$ m/s.

---

Bài 6.18. Chiều dài $l$ (m) của con lắc đơn tỉ lệ thuận với bình phương chu kì $T$ (giây). Con lắc dài $223{,}4$ cm có chu kì $3$ giây.

a) Tìm công thức liên hệ giữa $l$ và $T$. b) Tìm chiều dài con lắc có chu kì $5$ giây. c) Chu kì của con lắc dài $0{,}98$ m?

Lời giải:

a) $l = kT^2$. Với $l = 2{,}234$ m, $T = 3$: $k = \dfrac{2{,}234}{9} \approx 0{,}248$. Vậy $l \approx 0{,}248\,T^2$ (m).

b) $T = 5$: $l \approx 0{,}248 \cdot 25 = 6{,}2$ (m).

c) $0{,}98 = 0{,}248\,T^2 \iff T^2 \approx 3{,}95 \iff T \approx 2{,}0$ (giây).

Kết quả: a) $l \approx 0{,}248T^2$; b) $\approx 6{,}2$ m; c) $\approx 2{,}0$ giây.

---

Bài 6.19. Giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$; b) $3x^2 - 9x + 3 = 0$; c) $11x^2 - 13x + 5 = 0$; d) $2x^2 + 2\sqrt{6}x + 3 = 0$.

Lời giải:

a) $\Delta' = 5 - 1 = 4 > 0$ → $x_{1,2} = \sqrt{5} \pm 2$.

b) Chia hai vế cho $3$: $x^2 - 3x + 1 = 0$; $\Delta = 9 - 4 = 5 > 0$ → $x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

c) $\Delta = 169 - 220 = -51 < 0$ → phương trình vô nghiệm.

d) $\Delta' = 6 - 6 = 0$ → nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

---

Bài 6.21. Từ một tấm tôn hình vuông, cắt bỏ bốn hình vuông cạnh $8$ cm ở bốn góc rồi gấp thành thùng hộp chữ nhật không nắp có thể tích $200$ cm³. Tính độ dài cạnh tấm tôn ban đầu.

Lời giải:

Gọi $x$ (cm) là cạnh tấm tôn ($x > 16$). Sau khi cắt bốn góc và gấp lên, thùng có đáy là hình vuông cạnh $x - 16$ và chiều cao $8$ cm:

$$8(x - 16)^2 = 200 \iff (x-16)^2 = 25 \iff x - 16 = 5 \text{ (vì } x > 16\text{)} \iff x = 21.$$

Thử lại: $8 \cdot 5^2 = 200$ ✓

Kết quả: cạnh tấm tôn là $21$ cm.

---

Bài 6.22. Doanh thu bán phở trong ngày: $R(x) = x(220 - 4x)$ (nghìn đồng), với $x$ (nghìn đồng) là giá một bát phở, $30 \le x \le 50$. Muốn doanh thu đạt $3$ triệu đồng thì giá mỗi bát phở là bao nhiêu?

Lời giải:

$3$ triệu đồng $= 3000$ nghìn đồng:

$$x(220 - 4x) = 3000 \iff 4x^2 - 220x + 3000 = 0 \iff x^2 - 55x + 750 = 0.$$

$\Delta = 3025 - 3000 = 25$, $\sqrt{\Delta} = 5$: $x_1 = \dfrac{55+5}{2} = 30$; $x_2 = \dfrac{55-5}{2} = 25$.

Vì $30 \le x \le 50$ nên chỉ nhận $x = 30$. Thử lại: $30(220 - 120) = 3000$ ✓

Kết quả: giá bán $30$ nghìn đồng/bát.

---

Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

HĐ1. Nhắc lại công thức nghiệm ($\Delta \ge 0$):

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$$

HĐ2. Tính $x_1 + x_2$ và $x_1 x_2$:

$$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta} - b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a};$$ $$x_1 x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}.$$

Đây chính là định lí Viète.

---

Luyện tập 1. Không giải phương trình, kiểm tra điều kiện có nghiệm rồi tính tổng và tích các nghiệm:

a) $2x^2 - 7x + 3 = 0$; b) $25x^2 - 20x + 4 = 0$; c) $2\sqrt{2}x^2 - 4 = 0$.

Lời giải:

a) $\Delta = 49 - 24 = 25 > 0$: $x_1 + x_2 = \dfrac{7}{2}$; $x_1 x_2 = \dfrac{3}{2}$.

b) $\Delta' = 100 - 100 = 0$ (có nghiệm kép): $x_1 + x_2 = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}$; $x_1 x_2 = \dfrac{4}{25}$.

c) $\Delta = 0 - 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot (-4) = 32\sqrt{2} > 0$: $x_1 + x_2 = 0$; $x_1 x_2 = \dfrac{-4}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.

---

Tranh luận. "Không cần giải, tôi biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ đều bằng $1$." Ý kiến của em thế nào?

Trả lời:

Ý kiến đó sai. Xét $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$: phương trình vô nghiệm, nên không tồn tại hai nghiệm để nói về tổng và tích. Định lí Viète chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm ($\Delta \ge 0$) — cần kiểm tra điều kiện này trước.

---

HĐ3. Cho phương trình $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 2$, $b = -7$, $c = 5$; $a + b + c = 2 - 7 + 5 = 0$.

b) Thay $x = 1$: $2 - 7 + 5 = 0$ ✓ — vậy $x_1 = 1$ là một nghiệm.

c) Theo Viète: $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{2}$, suy ra $x_2 = \dfrac{5}{2}$.

HĐ4. Cho phương trình $3x^2 + 5x + 2 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 3$, $b = 5$, $c = 2$; $a - b + c = 3 - 5 + 2 = 0$.

b) Thay $x = -1$: $3 - 5 + 2 = 0$ ✓ — vậy $x_1 = -1$ là một nghiệm.

c) Theo Viète: $x_1 x_2 = \dfrac{2}{3}$, suy ra $x_2 = -\dfrac{2}{3}$.

---

Luyện tập 2. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) $3x^2 - 11x + 8 = 0$; b) $4x^2 + 15x + 11 = 0$; c) $x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$, biết có một nghiệm $x = -\sqrt{2}$.

Lời giải:

a) $a + b + c = 3 - 11 + 8 = 0$ → $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8}{3}$.

b) $a - b + c = 4 - 15 + 11 = 0$ → $x_1 = -1$, $x_2 = -\dfrac{c}{a} = -\dfrac{11}{4}$.

c) Theo Viète $x_1 x_2 = 2$, với $x_1 = -\sqrt{2}$: $x_2 = \dfrac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$ (thật vậy, $\Delta' = 2 - 2 = 0$).

---

Thử thách nhỏ. Tìm một phương trình bậc hai mà tổng và tích các nghiệm là hai số đối nhau. Tròn nói: "Đó là phương trình $x^2 + x + 1 = 0$." Em có đồng ý không? Vì sao?

Trả lời:

Không đồng ý. Phương trình $x^2 + x + 1 = 0$ có $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ nên vô nghiệm — không có nghiệm thì không thể nói về tổng và tích các nghiệm.

Một ví dụ đúng: cần $S = -P$ và $\Delta = S^2 - 4P \ge 0$. Chọn $S = 2$, $P = -2$: phương trình $x^2 - 2x - 2 = 0$ có $\Delta = 4 + 8 = 12 > 0$, tổng hai nghiệm bằng $2$ và tích bằng $-2$ — đúng là hai số đối nhau.

---

HĐ5. Hai số có tổng $S = 5$ và tích $P = 6$. Lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm.

Lời giải:

a) Gọi một số là $x$ thì số kia là $5 - x$.

b) Tích bằng $6$: $x(5 - x) = 6 \iff 5x - x^2 = 6 \iff x^2 - 5x + 6 = 0$.

Tổng quát: hai số có tổng $S$, tích $P$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 - Sx + P = 0$ (điều kiện $S^2 - 4P \ge 0$).