Bài 20 (tiếp). Tìm hai số khi biết tổng và tích

Luyện tập 3. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng −11-11, tích của chúng bằng 2828.

Lời giải:

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2+11x+28=0x^2 + 11x + 28 = 0.

Δ=121−112=9\Delta = 121 - 112 = 9, Δ=3\sqrt{\Delta} = 3: x1=−11+32=−4x_1 = \dfrac{-11+3}{2} = -4; x2=−11−32=−7x_2 = \dfrac{-11-3}{2} = -7.

Thử lại: (−4)+(−7)=−11(-4) + (-7) = -11 ✓; (−4)(−7)=28(-4)(-7) = 28 ✓

Kết quả: hai số cần tìm là −4-4 và −7-7.

Bài tập

Bài 6.23. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có):

a) x2−12x+8=0x^2 - 12x + 8 = 0; b) 2x2+11x−5=02x^2 + 11x - 5 = 0; c) 3x2−10=03x^2 - 10 = 0; d) x2−x+3=0x^2 - x + 3 = 0.

Lời giải:

a) Δ′=36−8=28>0\Delta' = 36 - 8 = 28 > 0: x1+x2=12x_1 + x_2 = 12; x1x2=8x_1 x_2 = 8.

b) Δ=121+40=161>0\Delta = 121 + 40 = 161 > 0: x1+x2=−112x_1 + x_2 = -\dfrac{11}{2}; x1x2=−52x_1 x_2 = -\dfrac{5}{2}.

c) Δ=0+120=120>0\Delta = 0 + 120 = 120 > 0: x1+x2=0x_1 + x_2 = 0; x1x2=−103x_1 x_2 = -\dfrac{10}{3}.

d) Δ=1−12=−11<0\Delta = 1 - 12 = -11 < 0: phương trình vô nghiệm — không có tổng và tích các nghiệm.

Bài 6.24. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 2x2−9x+7=02x^2 - 9x + 7 = 0; b) 3x2+11x+8=03x^2 + 11x + 8 = 0; c) 7x2−15x+2=07x^2 - 15x + 2 = 0, biết x1=2x_1 = 2.

Lời giải:

a) a+b+c=2−9+7=0a + b + c = 2 - 9 + 7 = 0 → x1=1x_1 = 1; x2=72x_2 = \dfrac{7}{2}.

b) a−b+c=3−11+8=0a - b + c = 3 - 11 + 8 = 0 → x1=−1x_1 = -1; x2=−83x_2 = -\dfrac{8}{3}.

c) Theo Viète: x1x2=27x_1 x_2 = \dfrac{2}{7}, với x1=2x_1 = 2: x2=27:2=17x_2 = \dfrac{2}{7} : 2 = \dfrac{1}{7}.

Bài 6.25. Tìm hai số uu và vv, biết:

a) u+v=20u + v = 20, uv=99uv = 99; b) u+v=2u + v = 2, uv=15uv = 15.

Lời giải:

a) uu, vv là nghiệm của x2−20x+99=0x^2 - 20x + 99 = 0; Δ′=100−99=1\Delta' = 100 - 99 = 1: x1=11x_1 = 11, x2=9x_2 = 9.

Vậy (u;v)=(11;9)(u; v) = (11; 9) hoặc (9;11)(9; 11).

b) uu, vv là nghiệm của x2−2x+15=0x^2 - 2x + 15 = 0; Δ′=1−15=−14<0\Delta' = 1 - 15 = -14 < 0 — phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số uu, vv thỏa mãn.

Bài 6.26. Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1x_1, x2x_2 thì:

ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).

Áp dụng: phân tích thành nhân tử: a) x2+11x+18x^2 + 11x + 18; b) 3x2+5x−23x^2 + 5x - 2.

Lời giải:

Theo định lí Viète: x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} và x1x2=cax_1 x_2 = \dfrac{c}{a}. Khai triển:

a(x−x1)(x−x2)=a[x2−(x1+x2)x+x1x2]=a[x2+bax+ca]=ax2+bx+c.■a(x - x_1)(x - x_2) = a\left[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\right] = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right] = ax^2 + bx + c. \qquad \blacksquare

Áp dụng:

a) x2+11x+18=0x^2 + 11x + 18 = 0 có Δ=121−72=49\Delta = 121 - 72 = 49: x1=−2x_1 = -2, x2=−9x_2 = -9. Vậy:

x2+11x+18=(x+2)(x+9).x^2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9).

b) 3x2+5x−2=03x^2 + 5x - 2 = 0 có Δ=25+24=49\Delta = 25 + 24 = 49: x1=13x_1 = \dfrac{1}{3}, x2=−2x_2 = -2. Vậy:

3x2+5x−2=3(x−13)(x+2)=(3x−1)(x+2).3x^2 + 5x - 2 = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x + 2) = (3x - 1)(x + 2).

Bài 21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Câu hỏi mở đầu (HĐ1–HĐ3). Bác Lan gửi tiết kiệm 100100 triệu đồng kì hạn 1212 tháng theo thể thức lãi kép. Sau hai năm, bác nhận được 118,81118{,}81 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tính lãi suất gửi tiết kiệm.

Lời giải:

HĐ1. Gọi xx là lãi suất (x>0x > 0, dạng số thập phân). Sau kì gửi thứ nhất, số tiền thu được:

100+100x=100(1+x) (triệu đoˆˋng).100 + 100x = 100(1 + x) \text{ (triệu đồng)}.

HĐ2. Số tiền 100(1+x)100(1+x) trở thành vốn của kì thứ hai. Sau kì gửi thứ hai:

100(1+x)(1+x)=100(1+x)2 (triệu đoˆˋng).100(1+x)(1+x) = 100(1+x)^2 \text{ (triệu đồng)}.

HĐ3. Theo đề bài:

100(1+x)2=118,81  ⟺  (1+x)2=1,1881  ⟺  1+x=1,09 (vıˋ 1+x>0).100(1+x)^2 = 118{,}81 \iff (1+x)^2 = 1{,}1881 \iff 1 + x = 1{,}09 \text{ (vì } 1+x > 0\text{)}.

Suy ra x=0,09x = 0{,}09.

Kết quả: lãi suất gửi tiết kiệm là 9%9\%/năm.

Luyện tập. Một đội xe gồm các xe tải cùng loại cần chở 120120 tấn hàng. Khi làm việc, hai xe phải điều chuyển đi nơi khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 33 tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu chiếc?

Lời giải:

Gọi xx là số xe của đội (x∈Nx \in \mathbb{N}, x>2x > 2). Theo kế hoạch mỗi xe chở 120x\dfrac{120}{x} tấn; thực tế còn x−2x - 2 xe, mỗi xe chở 120x−2\dfrac{120}{x-2} tấn. Mỗi xe chở thêm 33 tấn:

120x−2−120x=3.\frac{120}{x-2} - \frac{120}{x} = 3.

Nhân hai vế với x(x−2)x(x-2):

120x−120(x−2)=3x(x−2)  ⟺  240=3x2−6x  ⟺  x2−2x−80=0.120x - 120(x-2) = 3x(x-2) \iff 240 = 3x^2 - 6x \iff x^2 - 2x - 80 = 0.

Δ′=1+80=81\Delta' = 1 + 80 = 81, Δ′=9\sqrt{\Delta'} = 9: x1=10x_1 = 10 (thỏa mãn); x2=−8x_2 = -8 (loại).

Thử lại: kế hoạch 1212 tấn/xe; thực tế 88 xe ×15\times 15 tấn =120= 120 ✓ (thêm đúng 33 tấn ✓)

Kết quả: đội xe có 1010 chiếc.

Bài 6.28. Mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360360 m². Nếu tăng chiều rộng 33 m và giảm chiều dài 44 m thì diện tích không đổi. Tìm các kích thước của mảnh đất.

Lời giải:

Gọi xx (m) là chiều rộng (x>0x > 0), chiều dài là 360x\dfrac{360}{x} (m). Theo đề bài:

(x+3)(360x−4)=360.(x + 3)\left(\frac{360}{x} - 4\right) = 360.

Khai triển: 360−4x+1080x−12=360  ⟺  −4x+1080x−12=0360 - 4x + \dfrac{1080}{x} - 12 = 360 \iff -4x + \dfrac{1080}{x} - 12 = 0.

Nhân hai vế với −x4-\dfrac{x}{4}: x2+3x−270=0x^2 + 3x - 270 = 0; Δ=9+1080=1089=332\Delta = 9 + 1080 = 1089 = 33^2:

x1=−3+332=15 (thỏa ma˜n);x2=−18 (loại).x_1 = \frac{-3 + 33}{2} = 15 \text{ (thỏa mãn)}; \quad x_2 = -18 \text{ (loại)}.

Chiều rộng 1515 m, chiều dài 36015=24\dfrac{360}{15} = 24 m. Thử lại: (15+3)(24−4)=18⋅20=360(15+3)(24-4) = 18 \cdot 20 = 360 ✓

Kết quả: mảnh đất có kích thước 2424 m ×\times 1515 m.

Bài 6.29. Sau hai năm, dân số một thành phố tăng từ 1 200 0001\,200\,000 lên 1 452 0001\,452\,000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số tăng bao nhiêu phần trăm?

Lời giải:

Gọi xx là tỉ lệ tăng dân số mỗi năm (x>0x > 0). Sau hai năm:

1 200 000(1+x)2=1 452 000  ⟺  (1+x)2=1,21  ⟺  1+x=1,1  ⟺  x=0,1.1\,200\,000(1+x)^2 = 1\,452\,000 \iff (1+x)^2 = 1{,}21 \iff 1 + x = 1{,}1 \iff x = 0{,}1.

Kết quả: trung bình mỗi năm dân số tăng 10%10\%.

Bài 6.30. Thanh sô cô la hình hộp chữ nhật 12×7×312 \times 7 \times 3 cm. Nhà sản xuất muốn giảm 10%10\% thể tích bằng cách giữ nguyên độ dày 33 cm, giảm chiều dài và chiều rộng đi cùng một số centimét. Hỏi kích thước thanh mới?

Lời giải:

Thể tích cũ: 12⋅7⋅3=25212 \cdot 7 \cdot 3 = 252 (cm³). Thể tích mới: 0,9⋅252=226,80{,}9 \cdot 252 = 226{,}8 (cm³).

Gọi xx (cm) là số giảm ở mỗi chiều (0<x<70 < x < 7):

3(12−x)(7−x)=226,8  ⟺  (12−x)(7−x)=75,6  ⟺  x2−19x+8,4=0.3(12 - x)(7 - x) = 226{,}8 \iff (12-x)(7-x) = 75{,}6 \iff x^2 - 19x + 8{,}4 = 0.

Δ=361−33,6=327,4\Delta = 361 - 33{,}6 = 327{,}4; Δ≈18,09\sqrt{\Delta} \approx 18{,}09:

x1≈19−18,092≈0,45 (thỏa ma˜n);x2≈18,5 (loại).x_1 \approx \frac{19 - 18{,}09}{2} \approx 0{,}45 \text{ (thỏa mãn)}; \quad x_2 \approx 18{,}5 \text{ (loại)}.

Kích thước mới: dài ≈11,55\approx 11{,}55 cm, rộng ≈6,55\approx 6{,}55 cm, dày 33 cm. (Thử lại: 11,55⋅6,55⋅3≈226,9≈226,811{,}55 \cdot 6{,}55 \cdot 3 \approx 226{,}9 \approx 226{,}8 ✓)

Kết quả: khoảng 11,5511{,}55 cm ×\times 6,556{,}55 cm ×\times 33 cm.

Bài 6.31. Máy bay bay Hà Nội → TP.HCM (12001200 km), nghỉ 9696 phút, bay về với vận tốc lớn hơn lúc đi 100100 km/h. Tổng thời gian cả hành trình là 66 giờ. Tính vận tốc lúc đi.

Lời giải:

Gọi xx (km/h) là vận tốc lúc đi (x>0x > 0). Đổi 9696 phút =1,6= 1{,}6 giờ. Ta có:

1200x+1200x+100+1,6=6  ⟺  1200x+1200x+100=4,4.\frac{1200}{x} + \frac{1200}{x + 100} + 1{,}6 = 6 \iff \frac{1200}{x} + \frac{1200}{x+100} = 4{,}4.

Nhân hai vế với x(x+100)x(x+100):

1200(x+100)+1200x=4,4x(x+100)  ⟺  4,4x2−1960x−120 000=01200(x + 100) + 1200x = 4{,}4x(x+100) \iff 4{,}4x^2 - 1960x - 120\,000 = 0   ⟺  11x2−4900x−300 000=0.\iff 11x^2 - 4900x - 300\,000 = 0.

Δ=49002+4⋅11⋅300 000=24 010 000+13 200 000=37 210 000=61002\Delta = 4900^2 + 4 \cdot 11 \cdot 300\,000 = 24\,010\,000 + 13\,200\,000 = 37\,210\,000 = 6100^2:

x=4900+610022=500 (thỏa ma˜n);x2<0 (loại).x = \frac{4900 + 6100}{22} = 500 \text{ (thỏa mãn)}; \quad x_2 < 0 \text{ (loại)}.

Thử lại: 1200500+1200600+1,6=2,4+2+1,6=6\dfrac{1200}{500} + \dfrac{1200}{600} + 1{,}6 = 2{,}4 + 2 + 1{,}6 = 6 ✓

Kết quả: vận tốc lúc đi là 500500 km/h.

Bài 6.32. Ô tô khách khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng (120120 km). Sau đó 3030 phút, ô tô con xuất phát cùng điểm với vận tốc lớn hơn 2020 km/h và hai xe đến nơi cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.

Lời giải:

Gọi xx (km/h) là vận tốc ô tô khách (x>0x > 0). Thời gian đi của hai xe chênh nhau 0,50{,}5 giờ:

120x−120x+20=0,5.\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 0{,}5.

Nhân hai vế với x(x+20)x(x+20):

120(x+20)−120x=0,5x(x+20)  ⟺  2400=0,5x2+10x  ⟺  x2+20x−4800=0.120(x+20) - 120x = 0{,}5x(x+20) \iff 2400 = 0{,}5x^2 + 10x \iff x^2 + 20x - 4800 = 0.

Δ′=100+4800=4900=702\Delta' = 100 + 4800 = 4900 = 70^2: x=−10+70=60x = -10 + 70 = 60 (thỏa mãn); nghiệm kia âm (loại).

Thử lại: 12060−12080=2−1,5=0,5\dfrac{120}{60} - \dfrac{120}{80} = 2 - 1{,}5 = 0{,}5 ✓

Kết quả: ô tô khách 6060 km/h, ô tô con 8080 km/h.

Bài 6.33. Xưởng may phải may 15001500 chiếc áo theo kế hoạch. Thực tế mỗi ngày may nhiều hơn kế hoạch 1010 chiếc, nên 33 ngày trước khi hết hạn đã may được 13201320 áo. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xưởng may bao nhiêu chiếc áo?

Lời giải:

Gọi xx là số áo may mỗi ngày theo kế hoạch (x∈N∗x \in \mathbb{N}^*). Thời hạn quy định là 1500x\dfrac{1500}{x} (ngày).

Thực tế mỗi ngày may x+10x + 10 áo, và sau 1500x−3\dfrac{1500}{x} - 3 ngày may được 13201320 áo:

(x+10)(1500x−3)=1320.(x + 10)\left(\frac{1500}{x} - 3\right) = 1320.

Khai triển: 1500−3x+15 000x−30=1320  ⟺  −3x+15 000x+150=01500 - 3x + \dfrac{15\,000}{x} - 30 = 1320 \iff -3x + \dfrac{15\,000}{x} + 150 = 0.

Nhân hai vế với −x3-\dfrac{x}{3}: x2−50x−5000=0x^2 - 50x - 5000 = 0; Δ′=625+5000=5625=752\Delta' = 625 + 5000 = 5625 = 75^2:

x=25+75=100 (thỏa ma˜n);x2=−50 (loại).x = 25 + 75 = 100 \text{ (thỏa mãn)}; \quad x_2 = -50 \text{ (loại)}.

Thử lại: thời hạn 1515 ngày; thực tế 110110 áo/ngày ×12\times 12 ngày =1320= 1320 ✓

Kết quả: theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng may 100100 chiếc áo.