Giải Toán 9 Tập 2 trang 30-33 - Kết nối tri thức

Luyện tập chung

Ví dụ 1. Cho phương trình bậc hai $x^2 - 7x + 5 = 0$.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$.

b) Tính $A = x_1^2 + x_2^2$.

Lời giải:

a) $\Delta = 49 - 20 = 29 > 0$ → phương trình có hai nghiệm phân biệt. $\blacksquare$

b) Theo Viète: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 x_2 = 5$. Ta có:

$$A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 49 - 10 = 39.$$

---

Ví dụ 2. Miếng kim loại thứ nhất nặng $600$ g, miếng thứ hai nặng $640$ g. Thể tích miếng thứ nhất lớn hơn miếng thứ hai $120$ cm³, nhưng khối lượng riêng nhỏ hơn $5$ g/cm³. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng.

Lời giải:

Gọi $x$ (g/cm³) là khối lượng riêng của miếng thứ nhất ($x > 0$); miếng thứ hai là $x + 5$ (g/cm³).

Thể tích hai miếng lần lượt là $\dfrac{600}{x}$ và $\dfrac{640}{x+5}$ (cm³). Theo đề:

$$\frac{600}{x} - \frac{640}{x+5} = 120.$$

Nhân hai vế với $x(x+5)$: $600(x+5) - 640x = 120x(x+5)$, rút gọn được $3x^2 + 16x - 75 = 0$.

$\Delta' = 64 + 225 = 289$, $\sqrt{\Delta'} = 17$: $x = \dfrac{-8+17}{3} = 3$ (thỏa mãn); nghiệm kia âm (loại).

Thử lại: $V_1 = 200$ cm³, $V_2 = 80$ cm³, chênh $120$ ✓

Kết quả: $3$ g/cm³ và $8$ g/cm³.

---

Bài 6.34. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) $\sqrt{2}x^2 - (\sqrt{2}+1)x + 1 = 0$; b) $2x^2 + (\sqrt{3}-1)x - 3 + \sqrt{3} = 0$.

Lời giải:

a) $a + b + c = \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1 + 1 = 0$ → $x_1 = 1$; $x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

b) $a - b + c = 2 - \sqrt{3} + 1 - 3 + \sqrt{3} = 0$ → $x_1 = -1$; $x_2 = -\dfrac{c}{a} = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}$.

---

Bài 6.35. Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 - 5x + 3 = 0$. Không giải phương trình, tính:

a) $x_1^2 + x_2^2$; b) $(x_1 - x_2)^2$.

Lời giải:

Theo Viète: $S = x_1 + x_2 = 5$; $P = x_1 x_2 = 3$.

a) $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 25 - 6 = 19$.

b) $(x_1 - x_2)^2 = S^2 - 4P = 25 - 12 = 13$.

---

Bài 6.36. Tìm hai số $u$ và $v$, biết: a) $u + v = 15$, $uv = 56$; b) $u^2 + v^2 = 125$, $uv = 22$.

Lời giải:

a) $u$, $v$ là nghiệm của $x^2 - 15x + 56 = 0$; $\Delta = 225 - 224 = 1$: $x_1 = 8$, $x_2 = 7$.

Vậy $(u; v) = (8; 7)$ hoặc $(7; 8)$.

b) $(u+v)^2 = u^2 + v^2 + 2uv = 125 + 44 = 169 \implies u + v = 13$ hoặc $u + v = -13$.

• Nếu $u + v = 13$, $uv = 22$: nghiệm của $x^2 - 13x + 22 = 0$; $\Delta = 169 - 88 = 81$: $x = 11$ hoặc $x = 2$.
• Nếu $u + v = -13$, $uv = 22$: nghiệm của $x^2 + 13x + 22 = 0$: $x = -2$ hoặc $x = -11$.

Vậy $(u; v)$ là $(11; 2)$, $(2; 11)$, $(-2; -11)$ hoặc $(-11; -2)$.

---

Bài 6.37. Chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp, đáy hình vuông, tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là $800$ cm², chiều cao $10$ cm. Tính độ dài cạnh đáy (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải:

Gọi $x$ (cm) là cạnh đáy ($x > 0$). Diện tích xung quanh: $4 \cdot 10 \cdot x = 40x$; diện tích đáy: $x^2$:

$$x^2 + 40x = 800 \iff x^2 + 40x - 800 = 0.$$

$\Delta' = 400 + 800 = 1200$, $\sqrt{\Delta'} = 20\sqrt{3} \approx 34{,}64$:

$$x = -20 + 20\sqrt{3} \approx 14{,}6 \text{ (cm)} \text{ (nghiệm kia âm, loại)}.$$

Kết quả: cạnh đáy $\approx 14{,}6$ cm.

---

Bài 6.38. Doanh thu bán áo phông: $R = x(100 - 0{,}02x)$ (nghìn đồng), $x$ là số áo bán được. Cần bán bao nhiêu chiếc áo để doanh thu đạt $120$ triệu đồng?

Lời giải:

$120$ triệu đồng $= 120\,000$ nghìn đồng:

$$x(100 - 0{,}02x) = 120\,000 \iff 0{,}02x^2 - 100x + 120\,000 = 0 \iff x^2 - 5000x + 6\,000\,000 = 0.$$

$\Delta' = 2500^2 - 6\,000\,000 = 250\,000$, $\sqrt{\Delta'} = 500$:

$$x_1 = 2500 + 500 = 3000; \qquad x_2 = 2500 - 500 = 2000.$$

Cả hai giá trị đều cho giá bán dương ($p = 40$ hoặc $60$ nghìn đồng) nên đều hợp lệ.

Kết quả: bán $2000$ chiếc (giá $60$ nghìn/chiếc) hoặc $3000$ chiếc (giá $40$ nghìn/chiếc).

---

Bài tập cuối chương VI

A. Trắc nghiệm

Bài 6.39. Điểm thuộc đồ thị $y = \dfrac{1}{2}x^2$: kiểm tra $\left(-1; \dfrac{1}{2}\right)$: $\dfrac{1}{2}(-1)^2 = \dfrac{1}{2}$ ✓

Đáp án: D.

Bài 6.41. $x^2 + 7x + 12 = 0$: $\Delta = 49 - 48 = 1$ → $x = \dfrac{-7 \pm 1}{2}$, tức $x_1 = -3$, $x_2 = -4$.

Đáp án: B.

Bài 6.42. Phương trình nhận $x_1 = 13$, $x_2 = 25$: $S = 38$, $P = 325$ → $x^2 - 38x + 325 = 0$.

Đáp án: C.

Bài 6.43. $x^2 - 5x + 6 = 0$: $S = 5$, $P = 6$ → $A = S^2 - 2P = 25 - 12 = 13$.

Đáp án: A.

Bài 6.44. Chu vi $20$ → tổng hai kích thước $= 10$; diện tích $24$ → tích $= 24$. Hai số là nghiệm của $x^2 - 10x + 24 = 0$: $x = 6$ và $x = 4$.

Đáp án: B.

B. Tự luận

Bài 6.45. Vẽ đồ thị $y = \dfrac{5}{2}x^2$ và $y = -\dfrac{5}{2}x^2$ trên cùng mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Bảng giá trị:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = \frac{5}{2}x^2$	$10$	$\frac{5}{2}$	$0$	$\frac{5}{2}$	$10$
$y = -\frac{5}{2}x^2$	$-10$	$-\frac{5}{2}$	$0$	$-\frac{5}{2}$	$-10$

Hai parabol cùng đỉnh $O$, đối xứng nhau qua trục hoành: $y = \dfrac{5}{2}x^2$ nằm phía trên, $y = -\dfrac{5}{2}x^2$ nằm phía dưới trục hoành.

---

Bài 6.46. Cho $y = ax^2$ đi qua điểm $A(3; 3)$. Xác định $a$ và vẽ đồ thị.

Lời giải:

$3 = a \cdot 9 \implies a = \dfrac{1}{3}$. Hàm số: $y = \dfrac{1}{3}x^2$.

Bảng giá trị: $x = \pm 3 \to y = 3$; $x = \pm 1 \to y = \dfrac{1}{3}$; $x = 0 \to y = 0$. Đồ thị là parabol đỉnh $O$, nằm phía trên trục hoành, đối xứng qua $Oy$.

---

Bài 6.47. Giải các phương trình: a) $5x^2 - 6\sqrt{5}x + 2 = 0$; b) $2x^2 + 2\sqrt{6}x + 3 = 0$.

Lời giải:

a) $\Delta' = (3\sqrt{5})^2 - 10 = 35 > 0$ → $x_{1,2} = \dfrac{3\sqrt{5} \pm \sqrt{35}}{5}$.

b) $\Delta' = 6 - 6 = 0$ → nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

---

Bài 6.48. Cho $x^2 - 11x + 30 = 0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Không giải phương trình, tính:

a) $x_1^2 + x_2^2$; b) $x_1^3 + x_2^3$.

Lời giải:

$S = 11$; $P = 30$ (kiểm tra: $\Delta = 121 - 120 = 1 > 0$ ✓).

a) $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 121 - 60 = 61$.

b) $x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3PS = 1331 - 990 = 341$.

---

Bài 6.49. Tìm hai số $u$ và $v$, biết: a) $u + v = 13$, $uv = 40$; b) $u - v = 4$, $uv = 77$.

Lời giải:

a) Nghiệm của $x^2 - 13x + 40 = 0$; $\Delta = 169 - 160 = 9$: $x = 8$ hoặc $x = 5$.

Vậy $(u; v) = (8; 5)$ hoặc $(5; 8)$.

b) Đặt $v' = -v$ thì $u + v' = 4$ và $uv' = -77$, tức $u$, $v'$ là nghiệm của:

$$x^2 - 4x - 77 = 0; \quad \Delta' = 4 + 77 = 81 \implies x = 11 \text{ hoặc } x = -7.$$

• $u = 11$, $v' = -7$ → $v = 7$;
• $u = -7$, $v' = 11$ → $v = -11$.

Vậy $(u; v) = (11; 7)$ hoặc $(-7; -11)$.

---

Bài 6.50. Công thức khoảng cách phanh: $d = 0{,}05v^2 + 1{,}1v$ ($d$: feet, $v$: dặm/giờ). Giới hạn tốc độ là $70$ dặm/giờ. Một ô tô dừng lại sau $300$ feet kể từ khi đạp phanh — xe đó có chạy quá tốc độ không?

Lời giải:

Ta tìm $v$ sao cho $d = 300$:

$$0{,}05v^2 + 1{,}1v - 300 = 0 \iff v^2 + 22v - 6000 = 0.$$

$\Delta' = 121 + 6000 = 6121$; $\sqrt{6121} \approx 78{,}2$:

$$v \approx -11 + 78{,}2 = 67{,}2 \text{ (dặm/giờ)} \text{ (nghiệm kia âm, loại)}.$$

Vì $67{,}2 < 70$ nên ô tô không chạy nhanh hơn giới hạn tốc độ.

Kết quả: $v \approx 67{,}2$ dặm/giờ $< 70$ — không vượt giới hạn.

---

Bài 6.51. Bác Hương gửi $100$ triệu đồng kì hạn $12$ tháng. Sau một năm, bác gửi tiếp toàn bộ và gửi thêm $50$ triệu đồng nữa, cùng kì hạn. Sau hai năm bác nhận được $176$ triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tính lãi suất năm.

Lời giải:

Gọi $x$ là lãi suất năm ($x > 0$). Sau năm thứ nhất, số tiền thành $100(1+x)$; gửi thêm $50$ triệu, vốn của năm thứ hai là $100(1+x) + 50$. Sau năm thứ hai:

$$\left[100(1+x) + 50\right](1+x) = 176.$$

Đặt $t = 1 + x$ ($t > 1$): $100t^2 + 50t - 176 = 0 \iff 50t^2 + 25t - 88 = 0$.

$\Delta = 625 + 4 \cdot 50 \cdot 88 = 18\,225 = 135^2$:

$$t = \frac{-25 + 135}{100} = 1{,}1 \text{ (thỏa mãn } t > 1\text{)}.$$

Suy ra $x = 0{,}1 = 10\%$. Thử lại: $100 \cdot 1{,}1 = 110$; $110 + 50 = 160$; $160 \cdot 1{,}1 = 176$ ✓

Kết quả: lãi suất $10\%$/năm.

---

Bài 6.52. Hai khối 8 và 9 làm chung một công việc thì xong sau $1$ giờ $12$ phút. Nếu làm riêng, khối 9 xong nhanh hơn khối 8 là $1$ giờ. Hỏi mỗi khối làm riêng thì sau bao lâu xong việc?

Lời giải:

Đổi $1$ giờ $12$ phút $= \dfrac{6}{5}$ giờ. Gọi $x$ (giờ) là thời gian khối 9 làm riêng xong việc ($x > 0$); khối 8 là $x + 1$ (giờ). Mỗi giờ hai khối làm được $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}$ công việc, bằng $\dfrac{5}{6}$ công việc:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{5}{6}.$$

Nhân hai vế với $6x(x+1)$: $6(x+1) + 6x = 5x(x+1) \iff 5x^2 - 7x - 6 = 0$.

$\Delta = 49 + 120 = 169 = 13^2$: $x = \dfrac{7 + 13}{10} = 2$ (thỏa mãn); nghiệm kia âm (loại).

Thử lại: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ ✓

Kết quả: khối 9 làm riêng xong sau $2$ giờ, khối 8 sau $3$ giờ.