Bài 25. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Tình huống mở đầu. Một cửa hàng muốn tặng hai phần quà cho hai trong bốn khách hàng có lượng mua nhiều nhất trong tháng bằng cách rút thăm ngẫu nhiên: nhân viên viết tên 44 khách hàng vào 44 lá phiếu, rút ngẫu nhiên một lá (không trả lại), rồi rút tiếp một lá từ ba lá còn lại. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

(Lời giải xem ở Luyện tập 2 bên dưới: có 1212 kết quả có thể.)

HĐ. Xét tình huống mở đầu.

a) Trước khi rút thăm, có thể nói trước hai khách hàng nào được chọn hay không?

b) Cho ví dụ về ba trường hợp có thể xảy ra.

Trả lời:

a) Không thể nói trước hai khách hàng nào được chọn, vì việc rút thăm là ngẫu nhiên.

b) Kí hiệu bốn khách hàng là A, B, C, D. Ba trường hợp có thể xảy ra, chẳng hạn: lần đầu rút được phiếu A, lần sau rút được phiếu B; lần đầu rút được phiếu B, lần sau rút được phiếu C; lần đầu rút được phiếu D, lần sau rút được phiếu A.

Ví dụ 1. Bạn Lan gieo một con xúc xắc và bạn Hòa gieo một đồng xu. Quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc và mặt xuất hiện của đồng xu.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Phép thử là: bạn Lan gieo một con xúc xắc và bạn Hòa gieo một đồng xu. Kết quả của phép thử là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc và mặt xuất hiện của đồng xu — mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N).

b) Liệt kê tất cả các kết quả có thể bằng cách lập bảng:

Đồng xu \ Xúc xắc 11 22 33 44 55 66
S (1, S) (2, S) (3, S) (4, S) (5, S) (6, S)
N (1, N) (2, N) (3, N) (4, N) (5, N) (6, N)

Không gian mẫu của phép thử là:

Ω={(1,S);(2,S);(3,S);(4,S);(5,S);(6,S);(1,N);(2,N);(3,N);(4,N);(5,N);(6,N)}.\Omega = \{(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (5, S); (6, S); (1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N)\}.

Vậy không gian mẫu có 6⋅2=126 \cdot 2 = 12 phần tử.

Luyện tập 1. Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm ba hình quạt bằng nhau, đánh số 11; 22; 33 và được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm. Bạn Hiền quay tấm bìa liên tiếp hai lần và quan sát xem mũi tên chỉ vào hình quạt nào khi tấm bìa dừng lại.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Phép thử là: quay tấm bìa liên tiếp hai lần. Kết quả của phép thử là cặp số (a,b)(a, b), trong đó aa và bb lần lượt là số ghi trên hình quạt mà mũi tên chỉ vào ở lần quay thứ nhất và lần quay thứ hai.

b) Lập bảng liệt kê các kết quả có thể:

Lần 1 \ Lần 2 11 22 33
11 (1, 1) (1, 2) (1, 3)
22 (2, 1) (2, 2) (2, 3)
33 (3, 1) (3, 2) (3, 3)

Không gian mẫu là:

Ω={(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2);(3,3)}.\Omega = \{(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (3, 3)\}.

Vậy không gian mẫu có 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 phần tử.

Ví dụ 2. Một hộp kín đựng 44 quả bóng có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 11; 22; 33; 44. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ hộp, quả bóng được lấy ra lần đầu không trả lại vào hộp. Quan sát hai số ghi trên hai quả bóng được lấy ra.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Phép thử là: lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ hộp, quả lấy ra lần đầu không trả lại vào hộp. Kết quả của phép thử là cặp số (a,b)(a, b), trong đó aa và bb tương ứng là số ghi trên quả bóng lấy ra lần thứ nhất và lần thứ hai. Vì quả bóng lấy ra lần đầu không trả lại vào hộp nên a≠ba \ne b.

b) Lập bảng liệt kê, sau đó loại bỏ các ô trên đường chéo — các cặp (1,1)(1, 1), (2,2)(2, 2), (3,3)(3, 3), (4,4)(4, 4) — vì a≠ba \ne b. Không gian mẫu là:

Ω={(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(2,4);(3,1);(3,2);(3,4);(4,1);(4,2);(4,3)}.\Omega = \{(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3)\}.

Vậy không gian mẫu có 4⋅4−4=124 \cdot 4 - 4 = 12 phần tử.

Luyện tập 2. Trở lại tình huống mở đầu.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

Kí hiệu bốn khách hàng có lượng mua nhiều nhất là A, B, C, D.

a) Phép thử là: rút ngẫu nhiên lần lượt hai lá phiếu từ hộp gồm bốn lá phiếu ghi tên A, B, C, D; lá phiếu rút ra lần đầu không trả lại vào hộp. Kết quả của phép thử là cặp (a,b)(a, b), trong đó aa, bb lần lượt là tên khách hàng trên lá phiếu rút ra lần thứ nhất và lần thứ hai (a≠ba \ne b).

b) Làm tương tự Ví dụ 2 (bảng 4×44 \times 4 bỏ đường chéo), ta được không gian mẫu:

Ω={(A,B);(A,C);(A,D);(B,A);(B,C);(B,D);(C,A);(C,B);(C,D);(D,A);(D,B);(D,C)}.\Omega = \{(A, B); (A, C); (A, D); (B, A); (B, C); (B, D); (C, A); (C, B); (C, D); (D, A); (D, B); (D, C)\}.

Vậy không gian mẫu có 1212 phần tử — tức là có 1212 kết quả có thể xảy ra khi rút thăm.

Vận dụng. Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: màu vàng và màu xanh, ứng với allele trội A và allele lặn a. Hình dạng hạt có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn, ứng với allele trội B và allele lặn b. Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Phép thử là cho lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố có kiểu gene (AA, Bb), cây mẹ có kiểu gene (Aa, Bb). Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

Về màu hạt: cây bố có cặp gene AA nên luôn cho gene A; cây mẹ có cặp gene Aa nên cho gene A hoặc a. Vậy cây con có hai kiểu gene về màu hạt: AA; Aa.

Về dạng hạt: cây bố có cặp gene Bb cho gene B hoặc b; cây mẹ có cặp gene Bb cho gene B hoặc b. Vậy cây con có bốn kiểu gene về dạng hạt: BB; Bb; bB; bb.

Lập bảng liệt kê các kết quả có thể:

Màu hạt \ Dạng hạt BB Bb bB bb
AA (AA, BB) (AA, Bb) (AA, bB) (AA, bb)
Aa (Aa, BB) (Aa, Bb) (Aa, bB) (Aa, bb)

Không gian mẫu là:

Ω={(AA,BB);(AA,Bb);(AA,bB);(AA,bb);(Aa,BB);(Aa,Bb);(Aa,bB);(Aa,bb)}.\Omega = \{(AA, BB); (AA, Bb); (AA, bB); (AA, bb); (Aa, BB); (Aa, Bb); (Aa, bB); (Aa, bb)\}.

Vậy không gian mẫu có 2⋅4=82 \cdot 4 = 8 phần tử.

Bài tập

Bài 8.1. Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con và quan sát giới tính của hai người con đó.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

Lời giải:

a) Phép thử là: chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con và quan sát giới tính của hai người con. Kết quả của phép thử là cặp (giới tính con đầu, giới tính con thứ hai), mỗi thành phần là trai (T) hoặc gái (G).

b) Không gian mẫu của phép thử là:

Ω={(T,T);(T,G);(G,T);(G,G)},\Omega = \{(T, T); (T, G); (G, T); (G, G)\},

trong đó chẳng hạn (T, G) là kết quả "con đầu là trai, con thứ hai là gái". Không gian mẫu có 44 phần tử.

Bài 8.2. Một hộp đựng 55 tấm thẻ ghi các số 11; 22; 33; 44; 55. Rút ngẫu nhiên lần lượt hai tấm thẻ từ hộp, tấm thẻ rút ra lần đầu không trả lại vào hộp.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Phép thử là: rút ngẫu nhiên lần lượt hai tấm thẻ từ hộp, thẻ rút ra lần đầu không trả lại vào hộp. Kết quả của phép thử là cặp số (a,b)(a, b), trong đó aa và bb lần lượt là số ghi trên tấm thẻ rút ra lần thứ nhất và lần thứ hai; vì thẻ rút lần đầu không trả lại nên a≠ba \ne b.

b) Lập bảng 5×55 \times 5 rồi loại 55 ô trên đường chéo (a=ba = b), ta được không gian mẫu:

Ω={(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(2,1);(2,3);(2,4);(2,5);(3,1);(3,2);(3,4);(3,5);(4,1);(4,2);(4,3);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4)}.\Omega = \{(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (3, 5); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 5); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4)\}.

Vậy không gian mẫu có 5⋅5−5=205 \cdot 5 - 5 = 20 phần tử.

Bài 8.3. Có hai nhóm học sinh: Nhóm I có ba học sinh nam là Huy, Sơn, Tùng; nhóm II có ba học sinh nữ là Hồng, Phương, Linh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh từ mỗi nhóm.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Phép thử là: chọn ngẫu nhiên một học sinh từ nhóm I và một học sinh từ nhóm II. Kết quả của phép thử là cặp (bạn nam thuộc nhóm I, bạn nữ thuộc nhóm II).

b) Lập bảng liệt kê các kết quả có thể:

Nhóm I \ Nhóm II Hồng Phương Linh
Huy (Huy, Hồng) (Huy, Phương) (Huy, Linh)
Sơn (Sơn, Hồng) (Sơn, Phương) (Sơn, Linh)
Tùng (Tùng, Hồng) (Tùng, Phương) (Tùng, Linh)

Không gian mẫu là:

Ω={(Huy, Hoˆˋng);(Huy, Phương);(Huy, Linh);(Sơn, Hoˆˋng);(Sơn, Phương);(Sơn, Linh);(Tuˋng, Hoˆˋng);(Tuˋng, Phương);(Tuˋng, Linh)}.\Omega = \{(\text{Huy, Hồng}); (\text{Huy, Phương}); (\text{Huy, Linh}); (\text{Sơn, Hồng}); (\text{Sơn, Phương}); (\text{Sơn, Linh}); (\text{Tùng, Hồng}); (\text{Tùng, Phương}); (\text{Tùng, Linh})\}.

Vậy không gian mẫu có 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 phần tử.

Bài 8.4. Xếp ngẫu nhiên ba bạn Mai, Việt, Lan trên một chiếc ghế dài.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Phép thử là: xếp ngẫu nhiên ba bạn Mai, Việt, Lan ngồi trên một chiếc ghế dài. Kết quả của phép thử là một cách sắp xếp thứ tự chỗ ngồi của ba bạn.

b) Liệt kê tất cả các cách xếp ba bạn theo thứ tự từ trái sang phải:

Ω={(Mai, Việt, Lan);(Mai, Lan, Việt);(Việt, Mai, Lan);(Việt, Lan, Mai);(Lan, Mai, Việt);(Lan, Việt, Mai)}.\Omega = \{(\text{Mai, Việt, Lan}); (\text{Mai, Lan, Việt}); (\text{Việt, Mai, Lan}); (\text{Việt, Lan, Mai}); (\text{Lan, Mai, Việt}); (\text{Lan, Việt, Mai})\}.

Vậy không gian mẫu có 3⋅2⋅1=63 \cdot 2 \cdot 1 = 6 phần tử.