Giải Toán 9 Tập 2 trang 6-9 - Kết nối tri thức

Bài 18. Hàm số $y = ax^2$ $(a \ne 0)$

Câu hỏi mở đầu. Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao $75$ m so với mặt cầu và cách nhau $400$ m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số $y = ax^2$ $(a \ne 0)$ và được treo trên các đỉnh tháp. Tìm chiều cao $CH$ của dây cáp biết điểm $H$ cách tâm $O$ của cây cầu $100$ m.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ có gốc $O$ tại điểm thấp nhất của dây cáp (giữa cầu). Hai đỉnh tháp cách $O$ theo phương ngang $\dfrac{400}{2} = 200$ m và cao $75$ m, tức đồ thị đi qua điểm $(200; 75)$:

$$75 = a \cdot 200^2 \implies a = \frac{75}{40000} = \frac{3}{1600}.$$

Vậy dây cáp có dạng $y = \dfrac{3}{1600}x^2$. Tại điểm $H$ với $x = 100$:

$$CH = \frac{3}{1600} \cdot 100^2 = \frac{30000}{1600} = 18{,}75 \text{ (m)}.$$

Kết quả: $CH = 18{,}75$ m.

---

HĐ1. Vật rơi tự do có quãng đường $s = 4{,}9t^2$ ($s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây).

a) Hoàn thành bảng giá trị.

b) Vật rơi từ độ cao $19{,}6$ m — sau bao lâu vật chạm đất?

Lời giải:

a)

$t$ (giây)	$0$	$1$	$2$
$s$ (m)	$0$	$4{,}9$	$19{,}6$

b) Vật chạm đất khi $s = 19{,}6$:

$$4{,}9t^2 = 19{,}6 \iff t^2 = 4 \iff t = 2 \text{ (giây, vì } t > 0\text{)}.$$

Kết quả: sau $2$ giây.

---

HĐ2. a) Công thức diện tích hình tròn bán kính $r$. b) Hoàn thành bảng (lấy $\pi = 3{,}14$).

Lời giải:

a) $S = \pi r^2$.

b)

$r$ (cm)	$1$	$2$	$3$	$4$
$S$ (cm²)	$3{,}14$	$12{,}56$	$28{,}26$	$50{,}24$

---

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = \dfrac{3}{2}x^2$. Hoàn thành bảng giá trị.

Lời giải:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$\dfrac{27}{2}$	$6$	$\dfrac{3}{2}$	$0$	$\dfrac{3}{2}$	$6$	$\dfrac{27}{2}$

---

Luyện tập 1. Cho hàm số $y = -\dfrac{3}{2}x^2$. Hoàn thành bảng giá trị.

Lời giải:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-\dfrac{27}{2}$	$-6$	$-\dfrac{3}{2}$	$0$	$-\dfrac{3}{2}$	$-6$	$-\dfrac{27}{2}$

---

Vận dụng 1. Một vật rơi tự do từ độ cao $98$ m so với mặt đất, quãng đường rơi $s = 4{,}9t^2$.

a) Sau $2$ giây, vật cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu rơi, vật chạm đất?

Lời giải:

a) Sau $2$ giây, vật rơi được $s = 4{,}9 \cdot 2^2 = 19{,}6$ (m).

Vật cách mặt đất: $98 - 19{,}6 = 78{,}4$ (m).

b) Vật chạm đất khi $s = 98$:

$$4{,}9t^2 = 98 \iff t^2 = 20 \iff t = 2\sqrt{5} \approx 4{,}5 \text{ (giây)}.$$

Kết quả: a) $78{,}4$ m; b) $t = 2\sqrt{5} \approx 4{,}5$ giây.

---

HĐ3. Cho hàm số $y = 2x^2$.

a) Hoàn thành bảng giá trị. b) Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị.

Lời giải:

a)

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$18$	$8$	$2$	$0$	$2$	$8$	$18$

b) Biểu diễn các điểm $(-3; 18)$, $(-2; 8)$, $(-1; 2)$, $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(2; 8)$, $(3; 18)$ rồi nối lại bằng đường cong trơn, ta được đồ thị hàm số $y = 2x^2$ — một parabol có đỉnh $O$, nằm phía trên trục hoành, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

---

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số $y = -\dfrac{1}{4}x^2$.

Lời giải:

Bảng một số giá trị:

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$y$	$-4$	$-1$	$-\dfrac{1}{4}$	$0$	$-\dfrac{1}{4}$	$-1$	$-4$

Biểu diễn các điểm và nối lại, ta được parabol đỉnh $O$, nằm phía dưới trục hoành (vì $a = -\dfrac{1}{4} < 0$), nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

---

HĐ4. Xét đồ thị của hàm số $y = 2x^2$.

a) Đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục hoành? Điểm nào là điểm thấp nhất?

b) So sánh hoành độ và tung độ của các cặp điểm $A(1; 2)$ và $A'(-1; 2)$; $B(2; 8)$ và $B'(-2; 8)$. Nhận xét về vị trí các cặp điểm.

Lời giải:

a) Vì $a = 2 > 0$ nên $y = 2x^2 \ge 0$ với mọi $x$ — đồ thị nằm phía trên trục hoành. Điểm thấp nhất là gốc tọa độ $O(0; 0)$.

b) Mỗi cặp điểm có tung độ bằng nhau và hoành độ đối nhau. Do đó $A$ và $A'$, $B$ và $B'$ đối xứng với nhau qua trục tung $Oy$ — đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

---

Ví dụ 3. a) Vẽ đồ thị của hàm số $y = -2x^2$. b) Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $-\dfrac{1}{2}$ và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Lời giải:

a) Bảng giá trị:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-8$	$-2$	$0$	$-2$	$-8$

Nối các điểm ta được parabol đỉnh $O$, nằm phía dưới trục hoành, đối xứng qua $Oy$.

b) Với $y = -\dfrac{1}{2}$:

$$-2x^2 = -\frac{1}{2} \iff x^2 = \frac{1}{4} \iff x = \pm\frac{1}{2}.$$

Hai điểm cần tìm là $\left(\dfrac{1}{2}; -\dfrac{1}{2}\right)$ và $\left(-\dfrac{1}{2}; -\dfrac{1}{2}\right)$ — chúng đối xứng với nhau qua trục tung $Oy$.

Ghi nhớ: khi vẽ đồ thị $y = ax^2$ $(a \ne 0)$, cần xác định tối thiểu $5$ điểm: gốc $O$ và hai cặp điểm đối xứng nhau qua $Oy$. Có thể lập bảng với $x \ge 0$, vẽ nhánh phải rồi lấy đối xứng qua $Oy$.