Bài 26. Xác suất của biến cố liên quan tới phép thử

HĐ1. Bạn Tùng gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần. Xét các biến cố:

E: "Cả hai lần gieo con xúc xắc đều xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố";

F: "Cả hai lần gieo con xúc xắc đều không xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn".

a) Phép thử là gì?

b) Giả sử số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, thứ hai tương ứng là 22 và 55 chấm. Khi đó biến cố nào xảy ra, biến cố nào không xảy ra?

Lời giải:

a) Phép thử là: gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần.

b) Với kết quả (2;5)(2; 5): cả 22 và 55 đều là số nguyên tố nên biến cố E xảy ra. Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 22 chấm là số chẵn nên biến cố F không xảy ra.

Kết quả của phép thử làm cho biến cố E xảy ra được gọi là kết quả thuận lợi cho E.

Ví dụ 1. Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm bốn hình quạt bằng nhau, đánh số 11; 22; 33; 44 và được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Bạn Tuấn quay tấm bìa hai lần, quan sát và ghi lại số của hình quạt mà mũi tên chỉ vào.

a) Phép thử là gì? Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử.

Lời giải:

a) Phép thử là: quay tấm bìa hai lần. Kết quả của phép thử là cặp số (a,b)(a, b), trong đó aa và bb lần lượt là số của hình quạt mà mũi tên chỉ vào ở lần quay thứ nhất và thứ hai. Không gian mẫu là:

Ω={(a,b)∣a,b∈{1;2;3;4}},\Omega = \{(a, b) \mid a, b \in \{1; 2; 3; 4\}\},

gồm 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 phần tử: (1,1)(1, 1); (1,2)(1, 2); (1,3)(1, 3); (1,4)(1, 4); (2,1)(2, 1); (2,2)(2, 2); (2,3)(2, 3); (2,4)(2, 4); (3,1)(3, 1); (3,2)(3, 2); (3,3)(3, 3); (3,4)(3, 4); (4,1)(4, 1); (4,2)(4, 2); (4,3)(4, 3); (4,4)(4, 4).

Luyện tập 1. Bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng 22 quả cầu gồm một quả màu đen và một quả màu trắng, có cùng khối lượng và kích thước. Bạn Hải rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp đựng 33 tấm thẻ A, B, C.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

b) Xét các biến cố E: "Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu đen"; F: "Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và bạn Hải không rút được tấm thẻ A". Hãy mô tả các kết quả thuận lợi cho E và F.

Lời giải:

a) Kết quả của phép thử là cặp (màu quả cầu, chữ trên tấm thẻ). Không gian mẫu là:

Ω={(đen,A);(đen,B);(đen,C);(tra˘ˊng,A);(tra˘ˊng,B);(tra˘ˊng,C)}\Omega = \{(\text{đen}, A); (\text{đen}, B); (\text{đen}, C); (\text{trắng}, A); (\text{trắng}, B); (\text{trắng}, C)\}

— có 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 phần tử.

b) Các kết quả thuận lợi cho E (quả cầu màu đen): (đen,A)(\text{đen}, A); (đen,B)(\text{đen}, B); (đen,C)(\text{đen}, C).

Các kết quả thuận lợi cho F (quả cầu trắng và thẻ không phải A): (tra˘ˊng,B)(\text{trắng}, B); (tra˘ˊng,C)(\text{trắng}, C).

Công thức xác suất (kết quả đồng khả năng):

P(E)=n(E)n(Ω),P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)},

trong đó n(E)n(E) là số kết quả thuận lợi cho biến cố E và n(Ω)n(\Omega) là số phần tử của không gian mẫu.

Luyện tập 2. Cho hai túi I và II, mỗi túi chứa 33 tấm thẻ ghi các số 22; 33; 77. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và ghép thành số có hai chữ số với chữ số trên tấm thẻ rút từ túi I là chữ số hàng chục. Tính xác suất của các biến cố:

a) A: "Số tạo thành chia hết cho 44";

b) B: "Số tạo thành là số nguyên tố".

Lời giải:

Các số có thể tạo thành: 2222; 2323; 2727; 3232; 3333; 3737; 7272; 7373; 7777. Không gian mẫu có 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 phần tử, các kết quả đồng khả năng.

a) Trong các số trên, các số chia hết cho 44 là 3232 và 7272 — có 22 kết quả thuận lợi. Vậy P(A)=29P(A) = \dfrac{2}{9}.

b) Các số nguyên tố là 2323; 3737; 7373 — có 33 kết quả thuận lợi (chú ý 27=3327 = 3^3, 33=3⋅1133 = 3 \cdot 11, 77=7⋅1177 = 7 \cdot 11 là hợp số). Vậy P(B)=39=13P(B) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.

Luyện tập 3. Cho lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố có kiểu gene (AA, Bb), cây mẹ có kiểu gene (Aa, Bb) — allele trội A: hạt vàng, allele lặn a: hạt xanh; allele trội B: hạt trơn, allele lặn b: hạt nhăn. Tính xác suất để cây con có hạt vàng và nhăn.

Lời giải:

Theo Vận dụng của Bài 25, không gian mẫu của phép thử có 88 phần tử đồng khả năng:

Ω={(AA,BB);(AA,Bb);(AA,bB);(AA,bb);(Aa,BB);(Aa,Bb);(Aa,bB);(Aa,bb)}.\Omega = \{(AA, BB); (AA, Bb); (AA, bB); (AA, bb); (Aa, BB); (Aa, Bb); (Aa, bB); (Aa, bb)\}.

Cây con có hạt vàng khi cặp gene màu hạt chứa allele trội A — cả hai kiểu AA và Aa đều thỏa mãn. Cây con có hạt nhăn khi cặp gene dạng hạt là bb (không chứa allele trội B).

Các kết quả thuận lợi cho biến cố "hạt vàng và nhăn" là: (AA,bb)(AA, bb) và (Aa,bb)(Aa, bb) — có 22 kết quả.

Vậy xác suất cần tìm là P=28=14P = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}.

Bài tập

Bài 8.5. Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con. Giả thiết rằng biến cố "Sinh con trai" và biến cố "Sinh con gái" là đồng khả năng. Tính xác suất của các biến cố:

A: "Gia đình đó có cả con trai và con gái";

B: "Gia đình đó có con trai".

Lời giải:

Kí hiệu T là con trai, G là con gái. Không gian mẫu Ω={(T,T);(T,G);(G,T);(G,G)}\Omega = \{(T, T); (T, G); (G, T); (G, G)\} có 44 phần tử đồng khả năng (cặp thứ tự: con đầu, con thứ hai).

  • Kết quả thuận lợi cho A: (T,G)(T, G); (G,T)(G, T) — có 22 kết quả. Vậy P(A)=24=12P(A) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.

  • Kết quả thuận lợi cho B: (T,T)(T, T); (T,G)(T, G); (G,T)(G, T) — có 33 kết quả. Vậy P(B)=34P(B) = \dfrac{3}{4}.

Bài 8.6. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất của các biến cố:

E: "Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt 66 chấm";

F: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 66 chấm";

G: "Tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 66".

Lời giải:

Không gian mẫu Ω={(a,b)∣a,b∈{1;…;6}}\Omega = \{(a, b) \mid a, b \in \{1; \ldots; 6\}\} có 3636 phần tử đồng khả năng (aa, bb là số chấm trên xúc xắc I, II).

Biến cố E: xúc xắc I ra 66, xúc xắc II khác 66: có 55 kết quả (6,1),…,(6,5)(6, 1), \ldots, (6, 5); hoặc ngược lại: 55 kết quả. Vậy n(E)=10n(E) = 10 và P(E)=1036=518P(E) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}.

Biến cố F: thêm kết quả (6,6)(6, 6) so với E: n(F)=10+1=11n(F) = 10 + 1 = 11. Vậy P(F)=1136P(F) = \dfrac{11}{36}.

Biến cố G: đếm các cặp có ab≤6ab \le 6: với a=1a = 1: b∈{1;…;6}b \in \{1; \ldots; 6\} — 66 cặp; a=2a = 2: b∈{1;2;3}b \in \{1; 2; 3\} — 33 cặp; a=3a = 3: b∈{1;2}b \in \{1; 2\} — 22 cặp; a=4a = 4, a=5a = 5, a=6a = 6: b=1b = 1 — mỗi trường hợp 11 cặp. Tổng: 6+3+2+1+1+1=146 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14. Vậy P(G)=1436=718P(G) = \dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18}.

Bài 8.7. Bạn An gieo một đồng xu cân đối và bạn Bình rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp chứa 55 tấm thẻ ghi các số 11; 22; 33; 44; 55. Tính xác suất của các biến cố:

E: "Rút được tấm thẻ ghi số lẻ";

F: "Rút được tấm thẻ ghi số chẵn và đồng xu xuất hiện mặt sấp";

G: "Rút được tấm thẻ ghi số 55 hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa".

Lời giải:

Không gian mẫu Ω={(S,1);…;(S,5);(N,1);…;(N,5)}\Omega = \{(S, 1); \ldots; (S, 5); (N, 1); \ldots; (N, 5)\} có 2⋅5=102 \cdot 5 = 10 phần tử đồng khả năng (S: sấp, N: ngửa).

Biến cố E: thẻ lẻ (11; 33; 55) với mặt xu bất kì: n(E)=3⋅2=6n(E) = 3 \cdot 2 = 6. Vậy P(E)=610=35P(E) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}.

Biến cố F: thẻ chẵn (22; 44) và mặt sấp: (S,2)(S, 2); (S,4)(S, 4) — n(F)=2n(F) = 2. Vậy P(F)=210=15P(F) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}.

Biến cố G: mặt ngửa: 55 kết quả (N,1),…,(N,5)(N, 1), \ldots, (N, 5); thêm thẻ 55 với mặt sấp: (S,5)(S, 5). n(G)=5+1=6n(G) = 5 + 1 = 6. Vậy P(G)=610=35P(G) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}.

Bài 8.8. Có hai túi I và II, mỗi túi chứa 44 tấm thẻ được đánh số 11; 22; 33; 44. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và nhân hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Tính xác suất của các biến cố:

A: "Kết quả là một số lẻ";

B: "Kết quả là 11 hoặc một số nguyên tố".

Lời giải:

Không gian mẫu Ω={(a,b)∣a,b∈{1;2;3;4}}\Omega = \{(a, b) \mid a, b \in \{1; 2; 3; 4\}\} có 1616 phần tử đồng khả năng.

Biến cố A: tích abab lẻ khi và chỉ khi cả aa và bb đều lẻ, tức a,b∈{1;3}a, b \in \{1; 3\}: n(A)=2⋅2=4n(A) = 2 \cdot 2 = 4. Vậy P(A)=416=14P(A) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}.

Biến cố B: tích bằng 11: chỉ có (1,1)(1, 1). Tích là số nguyên tố: một thừa số bằng 11 và thừa số kia là số nguyên tố (22 hoặc 33): (1,2)(1, 2); (2,1)(2, 1); (1,3)(1, 3); (3,1)(3, 1). Vậy n(B)=1+4=5n(B) = 1 + 4 = 5 và P(B)=516P(B) = \dfrac{5}{16}.