Luyện tập chung

Ví dụ. Tấm bìa cứng A hình tròn được chia thành 33 hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số 11; 22; 33 và tấm bìa cứng B hình tròn được chia thành 55 hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số 11; 22; 33; 44; 55. Trục quay của A và B được gắn mũi tên ở tâm. Bạn Nam quay tấm bìa A, bạn Bình quay tấm bìa B. Quan sát xem mũi tên dừng ở hình quạt nào trên hai tấm bìa.

a) Phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

c) Tính xác suất của các biến cố: E: "Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào bằng 66"; F: "Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào nhỏ hơn 55"; G: "Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào là số chẵn".

Lời giải:

a) Phép thử là: bạn Nam quay tấm bìa A, bạn Bình quay tấm bìa B.

b) Kết quả của phép thử là cặp (b,a)(b, a) với b∈{1;…;5}b \in \{1; \ldots; 5\} là số trên tấm bìa B và a∈{1;2;3}a \in \{1; 2; 3\} là số trên tấm bìa A. Lập bảng 5×35 \times 3, ta được không gian mẫu:

Ω={(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2);(3,3);(4,1);(4,2);(4,3);(5,1);(5,2);(5,3)}\Omega = \{(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (5, 1); (5, 2); (5, 3)\}

— có 5⋅3=155 \cdot 3 = 15 phần tử. Vì hai tấm bìa được chia thành các hình quạt có diện tích bằng nhau nên các kết quả là đồng khả năng.

c) Biến cố E (tích bằng 66): các kết quả thuận lợi là (2,3)(2, 3) và (3,2)(3, 2). Vậy P(E)=215P(E) = \dfrac{2}{15}.

Biến cố F (tích nhỏ hơn 55): các kết quả thuận lợi là (1,1)(1, 1); (1,2)(1, 2); (1,3)(1, 3); (2,1)(2, 1); (2,2)(2, 2); (3,1)(3, 1); (4,1)(4, 1) — có 77 kết quả. Vậy P(F)=715P(F) = \dfrac{7}{15}.

Biến cố G (tích chẵn): tích chẵn khi ít nhất một thừa số chẵn. Số trên bìa B chẵn (22 hoặc 44): 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 kết quả; số trên bìa B lẻ (11; 33; 55) và số trên bìa A bằng 22: 33 kết quả. Vậy n(G)=6+3=9n(G) = 6 + 3 = 9 và P(G)=915=35P(G) = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}.

Bài tập

Bài 8.9. Có hai túi đựng các tấm thẻ. Túi I đựng 44 tấm thẻ ghi các chữ cái TT, TH, HT và HH. Túi II đựng 22 tấm thẻ ghi các chữ cái T và H. Từ mỗi túi rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ rồi ghép hai thẻ lại với nhau để được ba chữ cái, trong đó thẻ hai chữ cái đặt trước (chẳng hạn tấm thẻ TT ghép với tấm thẻ H được TTH). Tính xác suất của các biến cố:

a) E: "Trong ba chữ cái, có hai chữ H và một chữ T";

b) F: "Trong ba chữ cái, có nhiều nhất hai chữ T".

Lời giải:

Không gian mẫu gồm các bộ ba chữ cái: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH — có 4⋅2=84 \cdot 2 = 8 phần tử đồng khả năng.

a) Các kết quả thuận lợi cho E (hai H, một T): THH, HTH, HHT — có 33 kết quả. Vậy P(E)=38P(E) = \dfrac{3}{8}.

b) Biến cố F xảy ra khi bộ ba không phải TTT (có đủ ba chữ T). Số kết quả thuận lợi: 8−1=78 - 1 = 7. Vậy P(F)=78P(F) = \dfrac{7}{8}.

Bài 8.10. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất I và II. Tính xác suất của các biến cố:

G: "Không có con xúc xắc nào xuất hiện mặt 66 chấm";

H: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc I là số lẻ và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc II lớn hơn 44";

K: "Số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc lớn hơn 22".

Lời giải:

Không gian mẫu có 6⋅6=366 \cdot 6 = 36 phần tử đồng khả năng.

Biến cố G: cả hai con xúc xắc đều ra số khác 66: n(G)=5⋅5=25n(G) = 5 \cdot 5 = 25. Vậy P(G)=2536P(G) = \dfrac{25}{36}.

Biến cố H: xúc xắc I ra số lẻ (11; 33; 55) và xúc xắc II ra số lớn hơn 44 (55; 66): n(H)=3⋅2=6n(H) = 3 \cdot 2 = 6. Vậy P(H)=636=16P(H) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.

Biến cố K: cả hai con ra số lớn hơn 22 (thuộc {3;4;5;6}\{3; 4; 5; 6\}): n(K)=4⋅4=16n(K) = 4 \cdot 4 = 16. Vậy P(K)=1636=49P(K) = \dfrac{16}{36} = \dfrac{4}{9}.

Bài 8.11. Trên một dãy phố có ba quán ăn A, B, C. Hai bạn Vân và Hải mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

b) Tính xác suất của các biến cố: E: "Hai bạn cùng vào một quán"; F: "Cả hai bạn không chọn quán C"; G: "Có ít nhất một bạn chọn quán B".

Lời giải:

a) Kết quả của phép thử là cặp (quán Vân chọn, quán Hải chọn). Không gian mẫu là:

Ω={(A,A);(A,B);(A,C);(B,A);(B,B);(B,C);(C,A);(C,B);(C,C)}\Omega = \{(A, A); (A, B); (A, C); (B, A); (B, B); (B, C); (C, A); (C, B); (C, C)\}

— có 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 phần tử đồng khả năng.

b) Biến cố E: các kết quả thuận lợi: (A,A)(A, A); (B,B)(B, B); (C,C)(C, C). Vậy P(E)=39=13P(E) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.

Biến cố F: mỗi bạn chỉ chọn A hoặc B: n(F)=2⋅2=4n(F) = 2 \cdot 2 = 4. Vậy P(F)=49P(F) = \dfrac{4}{9}.

Biến cố G: biến cố đối "không ai chọn B" có 2⋅2=42 \cdot 2 = 4 kết quả (mỗi bạn chọn A hoặc C), nên n(G)=9−4=5n(G) = 9 - 4 = 5. Vậy P(G)=59P(G) = \dfrac{5}{9}.

Bài tập cuối chương VIII

A. Trắc nghiệm

Bài 8.12. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xác suất để "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 1010" là bao nhiêu?

Lời giải: Các kết quả thuận lợi: tổng 1010: (4,6)(4, 6); (5,5)(5, 5); (6,4)(6, 4); tổng 1111: (5,6)(5, 6); (6,5)(6, 5); tổng 1212: (6,6)(6, 6) — có 66 kết quả trong 3636. Xác suất =636=16= \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}. Đáp án C.

Bài 8.13. Túi I chứa 44 tấm thẻ đánh số 11; 22; 33; 44. Túi II chứa 55 tấm thẻ đánh số 11; 22; 33; 44; 55. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi túi. Xác suất để cả hai tấm thẻ đều ghi số chẵn là bao nhiêu?

Lời giải: Không gian mẫu có 4⋅5=204 \cdot 5 = 20 phần tử. Thẻ chẵn túi I: 22; 44 (22 cách); thẻ chẵn túi II: 22; 44 (22 cách) — có 2⋅2=42 \cdot 2 = 4 kết quả thuận lợi. Xác suất =420=15= \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}. Đáp án A.

Bài 8.14. Một túi đựng 44 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, đánh số 11; 22; 33; 44. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ túi. Xác suất để tích hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn 33 là bao nhiêu?

Lời giải: Các cách lấy hai viên bi (không kể thứ tự): {1,2}\{1, 2\}; {1,3}\{1, 3\}; {1,4}\{1, 4\}; {2,3}\{2, 3\}; {2,4}\{2, 4\}; {3,4}\{3, 4\} — 66 kết quả đồng khả năng, với tích lần lượt 22; 33; 44; 66; 88; 1212. Tích lớn hơn 33: 44 kết quả. Xác suất =46=23= \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}. Đáp án B.

B. Tự luận

Bài 8.15. Túi I chứa 33 tấm thẻ đánh số 22; 33; 44. Túi II chứa 22 tấm thẻ đánh số 55; 66. Từ mỗi túi rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố:

A: "Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau 22 đơn vị";

B: "Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau lớn hơn 22 đơn vị";

C: "Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn";

D: "Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số nguyên tố".

Lời giải:

Không gian mẫu Ω={(2,5);(2,6);(3,5);(3,6);(4,5);(4,6)}\Omega = \{(2, 5); (2, 6); (3, 5); (3, 6); (4, 5); (4, 6)\} có 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 phần tử đồng khả năng.

Biến cố A (chênh nhau 22): (3,5)(3, 5) và (4,6)(4, 6) — 22 kết quả. Vậy P(A)=26=13P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.

Biến cố B (chênh nhau lớn hơn 22): (2,5)(2, 5) chênh 33; (2,6)(2, 6) chênh 44; (3,6)(3, 6) chênh 33 — 33 kết quả. Vậy P(B)=36=12P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.

Biến cố C (tích chẵn): tích các cặp lần lượt là 1010; 1212; 1515; 1818; 2020; 2424 — chỉ (3,5)(3, 5) cho tích lẻ, nên có 55 kết quả thuận lợi. Vậy P(C)=56P(C) = \dfrac{5}{6}.

Biến cố D (tổng nguyên tố): tổng các cặp lần lượt là 77; 88; 88; 99; 99; 1010 — chỉ (2,5)(2, 5) cho tổng 77 là số nguyên tố. Vậy P(D)=16P(D) = \dfrac{1}{6}.

Bài 8.16. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất của các biến cố:

E: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 1111";

F: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 88 hoặc 99";

G: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 66".

Lời giải:

Không gian mẫu có 3636 phần tử đồng khả năng.

Biến cố E: tổng 1111: (5,6)(5, 6); (6,5)(6, 5) — 22 kết quả. Vậy P(E)=236=118P(E) = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}.

Biến cố F: tổng 88: (2,6)(2, 6); (3,5)(3, 5); (4,4)(4, 4); (5,3)(5, 3); (6,2)(6, 2) — 55 kết quả; tổng 99: (3,6)(3, 6); (4,5)(4, 5); (5,4)(5, 4); (6,3)(6, 3) — 44 kết quả. n(F)=9n(F) = 9. Vậy P(F)=936=14P(F) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}.

Biến cố G: tổng 22: 11 kết quả; tổng 33: 22; tổng 44: 33; tổng 55: 44. n(G)=1+2+3+4=10n(G) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Vậy P(G)=1036=518P(G) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}.

Bài 8.17. Hai bạn Minh và Huy chơi một trò chơi: Minh chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp {5;6;7;8;9;10}\{5; 6; 7; 8; 9; 10\}; Huy chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp {4;5;7;8;9;11}\{4; 5; 7; 8; 9; 11\}. Bạn nào chọn được số lớn hơn là người thắng cuộc; nếu hai số bằng nhau thì hòa. Tính xác suất của các biến cố:

a) A: "Bạn Minh thắng";

b) B: "Bạn Huy thắng".

Lời giải:

Không gian mẫu gồm các cặp (số Minh chọn, số Huy chọn), có 6⋅6=366 \cdot 6 = 36 phần tử đồng khả năng.

a) Đếm các cặp mà số của Minh lớn hơn số của Huy:

  • Minh chọn 55: Huy chọn 44 — 11 cặp;
  • Minh chọn 66: Huy chọn 44; 55 — 22 cặp;
  • Minh chọn 77: Huy chọn 44; 55 — 22 cặp;
  • Minh chọn 88: Huy chọn 44; 55; 77 — 33 cặp;
  • Minh chọn 99: Huy chọn 44; 55; 77; 88 — 44 cặp;
  • Minh chọn 1010: Huy chọn 44; 55; 77; 88; 99 — 55 cặp.

n(A)=1+2+2+3+4+5=17n(A) = 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 = 17. Vậy P(A)=1736P(A) = \dfrac{17}{36}.

b) Hai bạn hòa khi chọn cùng số: (5,5)(5, 5); (7,7)(7, 7); (8,8)(8, 8); (9,9)(9, 9) — 44 cặp. Do đó số cặp Huy thắng là 36−17−4=1536 - 17 - 4 = 15. Vậy P(B)=1536=512P(B) = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}.

(Kiểm tra: 1736+1536+436=1\dfrac{17}{36} + \dfrac{15}{36} + \dfrac{4}{36} = 1 ✓)