Bài 27. Góc nội tiếp

HĐ. Vẽ đường tròn tâm OO có bán kính bằng 22 cm và dây cung ABAB có độ dài bằng 22 cm. Lấy một điểm CC tùy ý nằm trên cung lớn AmBAmB.

a) Cho biết số đo của góc ở tâm AOB^\widehat{AOB} và số đo của cung bị chắn ABAB.

b) Đo góc ACB^\widehat{ACB} và so sánh với kết quả của bạn bên cạnh.

c) Lấy điểm DD tùy ý nằm trên cung ACBACB. Đo góc ADB^\widehat{ADB} và so sánh với các góc ACB^\widehat{ACB} và AOB^\widehat{AOB}.

Lời giải:

a) Tam giác OABOAB có OA=OB=AB=2OA = OB = AB = 2 cm nên là tam giác đều, suy ra AOB^=60∘\widehat{AOB} = 60^\circ. Do đó số đo cung nhỏ ABAB bằng 60∘60^\circ.

b) Đo được ACB^=30∘\widehat{ACB} = 30^\circ — kết quả giống với các bạn khác (dù mỗi bạn lấy điểm CC ở vị trí khác nhau trên cung lớn).

c) Đo được ADB^=30∘=ACB^=12AOB^\widehat{ADB} = 30^\circ = \widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB}. Nhận xét: các góc nội tiếp cùng chắn cung ABAB thì bằng nhau và bằng nửa số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Nhận xét: Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau; các góc nội tiếp cùng chắn một cung (hoặc chắn các cung bằng nhau) thì bằng nhau; góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm chắn cùng cung; góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ví dụ. Cho đường tròn (O)(O) và các điểm AA, BB, CC, DD trên (O)(O). Biết rằng BAC^=60∘\widehat{BAC} = 60^\circ, hãy tính số đo của các góc BOC^\widehat{BOC} và BDC^\widehat{BDC}.

Lời giải:

BAC^\widehat{BAC} là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BCBC nên sđBC⌢=2BAC^=120∘\overset\frown{BC} = 2\widehat{BAC} = 120^\circ.

BOC^\widehat{BOC} là góc ở tâm chắn cung nhỏ BCBC nên BOC^=sđBC⌢=120∘\widehat{BOC} = \text{sđ}\overset\frown{BC} = 120^\circ.

BDC^\widehat{BDC} là góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BCBC với BAC^\widehat{BAC} nên BDC^=BAC^=60∘\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 60^\circ.

Luyện tập. Cho đường tròn tâm OO và hai dây cung ABAB, CDCD cắt nhau tại điểm XX nằm trong đường tròn. Chứng minh rằng △AXC∽△DXB\triangle AXC \backsim \triangle DXB.

Lời giải:

Xét hai tam giác AXCAXC và DXBDXB:

  • AXC^=DXB^\widehat{AXC} = \widehat{DXB} (hai góc đối đỉnh);
  • XAC^=XDB^\widehat{XAC} = \widehat{XDB}, tức là BAC^=BDC^\widehat{BAC} = \widehat{BDC} (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BCBC).

Vậy △AXC∽△DXB\triangle AXC \backsim \triangle DXB (g.g).

Vận dụng. Trở lại tình huống mở đầu, hãy tính số đo của góc BAC^\widehat{BAC} nếu biết đường tròn có bán kính 22 cm và dây cung BC=22BC = 2\sqrt{2} cm. Tam giác BOCBOC có phải tam giác vuông không?

Lời giải:

Ta có OB=OC=2OB = OC = 2 cm nên OB2+OC2=4+4=8OB^2 + OC^2 = 4 + 4 = 8, và BC2=(22)2=8BC^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8.

Vì OB2+OC2=BC2OB^2 + OC^2 = BC^2 nên theo định lí Pythagore đảo, tam giác BOCBOC vuông tại OO, tức là BOC^=90∘\widehat{BOC} = 90^\circ.

Suy ra sđBC⌢=90∘\overset\frown{BC} = 90^\circ (cung nhỏ). Góc BAC^\widehat{BAC} là góc nội tiếp chắn cung BCBC nên:

BAC^=12 sđBC⌢=45∘.\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\,\text{sđ}\overset\frown{BC} = 45^\circ.

Bài tập

Bài 9.1. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn cùng một cung.

b) Góc nội tiếp nhỏ hơn 90∘90^\circ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

c) Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

d) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau.

Lời giải:

  • a) Sai: hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau, nhưng không nhất thiết là cùng một cung.
  • b) Đúng: góc nội tiếp nhỏ hơn 90∘90^\circ chắn cung nhỏ hơn 180∘180^\circ, nên góc ở tâm chắn cùng cung có số đo bằng số đo cung, gấp đôi góc nội tiếp.
  • c) Sai: góc nội tiếp chắn cung nhỏ bằng nửa số đo góc ở tâm chắn cùng cung.
  • d) Đúng (hệ quả của định lí góc nội tiếp).

Vậy các khẳng định đúng là b) và d).

Bài 9.2. Cho các điểm AA, BB, CC nằm trên đường tròn (O)(O). Tính số đo các góc của tam giác ABCABC, biết rằng AOB^=120∘\widehat{AOB} = 120^\circ, BOC^=80∘\widehat{BOC} = 80^\circ.

Lời giải:

Tổng các góc ở tâm quanh điểm OO bằng 360∘360^\circ nên AOC^=360∘−120∘−80∘=160∘\widehat{AOC} = 360^\circ - 120^\circ - 80^\circ = 160^\circ.

Áp dụng định lí góc nội tiếp (mỗi góc của tam giác chắn cung căng bởi cạnh đối diện):

  • ACB^=12AOB^=120∘2=60∘\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ;
  • BAC^=12BOC^=80∘2=40∘\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOC} = \dfrac{80^\circ}{2} = 40^\circ;
  • ABC^=12AOC^=160∘2=80∘\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOC} = \dfrac{160^\circ}{2} = 80^\circ.

(Kiểm tra: 60∘+40∘+80∘=180∘60^\circ + 40^\circ + 80^\circ = 180^\circ ✓)

Bài 9.3. Cho đường tròn (O)(O) và hai dây cung ACAC, BDBD cắt nhau tại XX. Tính số đo góc AXB^\widehat{AXB} biết rằng ADB^=30∘\widehat{ADB} = 30^\circ và DBC^=50∘\widehat{DBC} = 50^\circ.

Lời giải:

ACB^\widehat{ACB} và ADB^\widehat{ADB} là hai góc nội tiếp cùng chắn cung ABAB nên ACB^=ADB^=30∘\widehat{ACB} = \widehat{ADB} = 30^\circ.

Xét tam giác XBCXBC: AXB^\widehat{AXB} là góc ngoài tại đỉnh XX, do đó:

AXB^=XCB^+XBC^=ACB^+DBC^=30∘+50∘=80∘.\widehat{AXB} = \widehat{XCB} + \widehat{XBC} = \widehat{ACB} + \widehat{DBC} = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ.

Bài 9.4. Cho đường tròn (O)(O) và hai dây cung ABAB, CDCD cắt nhau tại điểm II nằm trong (O)(O).

a) Biết rằng AOC^=60∘\widehat{AOC} = 60^\circ, BOD^=80∘\widehat{BOD} = 80^\circ. Tính số đo của góc AID^\widehat{AID}.

b) Chứng minh rằng IA⋅IB=IC⋅IDIA \cdot IB = IC \cdot ID.

Lời giải:

a) DAB^\widehat{DAB} (tức DAI^\widehat{DAI}, vì II nằm trên ABAB) là góc nội tiếp chắn cung BDBD nên IAD^=12BOD^=40∘\widehat{IAD} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOD} = 40^\circ.

ADC^\widehat{ADC} (tức ADI^\widehat{ADI}, vì II nằm trên DCDC) là góc nội tiếp chắn cung ACAC nên IDA^=12AOC^=30∘\widehat{IDA} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOC} = 30^\circ.

Xét tam giác AIDAID: AID^=180∘−IAD^−IDA^=180∘−40∘−30∘=110∘\widehat{AID} = 180^\circ - \widehat{IAD} - \widehat{IDA} = 180^\circ - 40^\circ - 30^\circ = 110^\circ.

b) Xét hai tam giác IACIAC và IDBIDB:

  • AIC^=DIB^\widehat{AIC} = \widehat{DIB} (đối đỉnh);
  • IAC^=IDB^\widehat{IAC} = \widehat{IDB} (hai góc nội tiếp BAC^\widehat{BAC} và BDC^\widehat{BDC} cùng chắn cung BCBC).

Suy ra △IAC∽△IDB\triangle IAC \backsim \triangle IDB (g.g), do đó IAID=ICIB\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{IC}{IB}, tức là IA⋅IB=IC⋅IDIA \cdot IB = IC \cdot ID (điều phải chứng minh).

Bài 9.5. Cho đường tròn (O)(O), đường kính ABAB và điểm SS nằm ngoài (O)(O). Cho hai đường thẳng SASA, SBSB lần lượt cắt (O)(O) tại MM (khác AA) và NN (khác BB). Gọi PP là giao điểm của BMBM và ANAN. Chứng minh rằng SPSP vuông góc với ABAB.

Lời giải:

Vì AMB^\widehat{AMB} là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính ABAB) nên AMB^=90∘\widehat{AMB} = 90^\circ, suy ra BM⊥SABM \perp SA.

Tương tự, ANB^=90∘\widehat{ANB} = 90^\circ nên AN⊥SBAN \perp SB.

Trong tam giác SABSAB, hai đường thẳng BMBM và ANAN là hai đường cao (lần lượt hạ từ BB và AA). Chúng cắt nhau tại PP, nên PP là trực tâm của tam giác SABSAB.

Do đó đường thẳng SPSP chứa đường cao thứ ba của tam giác SABSAB, tức là SP⊥ABSP \perp AB (điều phải chứng minh).

Bài 9.6. Trên sân bóng, khi trái bóng được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng 36∘36^\circ và trái bóng cách mỗi cọc gôn 11,611{,}6 m. Hỏi khi trái bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền 11,611{,}6 m (như Hình 9.11) thì góc sút bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi PP là điểm phạt đền, BB và CC là hai cọc gôn, AA là vị trí mới của trái bóng.

Vì PB=PC=PA=11,6PB = PC = PA = 11{,}6 m nên ba điểm AA, BB, CC cùng nằm trên đường tròn tâm PP bán kính 11,611{,}6 m.

Trên đường tròn này, BPC^=36∘\widehat{BPC} = 36^\circ là góc ở tâm chắn cung nhỏ BCBC, còn góc sút mới BAC^\widehat{BAC} là góc nội tiếp chắn cùng cung BCBC đó. Vậy:

BAC^=12BPC^=36∘2=18∘.\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\widehat{BPC} = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ.

Khi trái bóng đặt ở vị trí mới, góc sút bằng 18∘18^\circ.