Giải Toán 9 Tập 2 trang 74-77 - Kết nối tri thức

Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

1. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác

HĐ1. Cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ và $O$ là một điểm trên $d$ . Hỏi đường tròn tâm $O$ đi qua $A$ thì có đi qua $B$ không?

Lời giải:

Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $OA = OB$ . Do đó đường tròn tâm $O$ đi qua $A$ (bán kính $OA$ ) cũng đi qua $B$ .

HĐ2. Cho tam giác $ABC$ có ba đường trung trực đồng quy tại $O$ . Hãy giải thích tại sao đường tròn $(O; OA)$ đi qua ba đỉnh của tam giác $ABC$ .

Lời giải:

$O$ nằm trên trung trực của $AB$ nên $OA = OB$ ; $O$ nằm trên trung trực của $BC$ nên $OB = OC$ . Suy ra $OA = OB = OC$ , tức là đường tròn $(O; OA)$ đi qua cả ba đỉnh $A$ , $B$ , $C$ .

Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó. Tâm của nó là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.

HĐ3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $A$ . Gọi $N$ , $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$ .

a) Vẽ hai đường trung trực $a$ , $b$ của các cạnh $AB$ , $AC$ , cắt nhau tại $M$ .

b) Hãy giải thích vì sao $MN$ , $MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$ .

c) Hãy giải thích vì sao $M$ là trung điểm của $BC$ , từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ có tâm $M$ và bán kính $MB = MC = \dfrac{BC}{2}$ .

Lời giải:

a) Đường trung trực $a$ của $AB$ đi qua trung điểm $N$ và vuông góc với $AB$ ; đường trung trực $b$ của $AC$ đi qua trung điểm $P$ và vuông góc với $AC$ ; chúng cắt nhau tại $M$ .

b) Vì $a \perp AB$ và $AC \perp AB$ nên $a \parallel AC$ , tức là $MN \parallel AC$ . Đường thẳng qua trung điểm $N$ của cạnh $AB$ và song song với $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ . Tương tự, $b \parallel AB$ nên $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ .

c) Vì $MN$ là đường trung bình nên $M$ là trung điểm của $BC$ , suy ra $MB = MC = \dfrac{BC}{2}$ . Mặt khác $M$ nằm trên trung trực của $AB$ nên $MA = MB$ . Vậy $MA = MB = MC$ : đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $M$ (trung điểm cạnh huyền) và bán kính $\dfrac{BC}{2}$ .

Ghi nhớ: Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 2$ cm, $AC = 4$ cm. Vẽ đường tròn $(O; R)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tính bán kính $R$ .

Lời giải:

Lấy $O$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$ và vẽ đường tròn $(O)$ đi qua $A$ — đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Theo định lí Pythagore: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4 + 16 = 20$ , suy ra $BC = 2\sqrt{5}$ cm.

Vậy $R = \dfrac{BC}{2} = \sqrt{5}$ cm.

Luyện tập 1. Cho tam giác $ABC$ có $AC = 3$ cm, $AB = 4$ cm và $BC = 5$ cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Lời giải:

Ta có $AC^2 + AB^2 = 9 + 16 = 25 = BC^2$ nên theo định lí Pythagore đảo, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với cạnh huyền $BC$ .

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm là trung điểm của $BC$ và bán kính:

$R = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5 \text{ (cm)}.$

HĐ4. Vẽ tam giác đều $ABC$ . Hãy trình bày cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và vẽ đường tròn đó.

Lời giải:

Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh (chẳng hạn của $AB$ và $AC$ ), chúng cắt nhau tại $O$ — đó là tâm đường tròn ngoại tiếp. Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ , đường tròn này đi qua cả ba đỉnh.

Chú ý: với tam giác đều, ba đường trung trực trùng với ba đường trung tuyến, nên tâm $O$ chính là trọng tâm của tam giác.

Ví dụ 2. Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $3$ cm. Vẽ đường tròn $(O; R)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Tính bán kính $R$ .

Lời giải:

Lấy $O$ là giao điểm ba đường trung tuyến (trọng tâm) của tam giác $ABC$ và vẽ đường tròn $(O)$ đi qua $A$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có bán kính $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a$ , nên:

$R = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3 = \sqrt{3} \text{ (cm)}.$

Luyện tập 2. Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có bán kính bằng $4$ cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Lời giải:

Với tam giác đều cạnh $a$ nội tiếp đường tròn bán kính $R$ , ta có $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a$ , suy ra:

$a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ (cm)}.$

Vậy các cạnh của tam giác $ABC$ đều dài $4\sqrt{3}$ cm $\approx 6{,}93$ cm.

2. Đường tròn nội tiếp một tam giác

HĐ5. Cho tam giác $ABC$ có ba đường phân giác đồng quy tại điểm $I$ . Gọi $D$ , $E$ , $F$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $I$ xuống các cạnh $BC$ , $CA$ và $AB$ .

a) Hãy giải thích vì sao các điểm $D$ , $E$ , $F$ cùng nằm trên một đường tròn có tâm $I$ .

b) Hãy giải thích vì sao đường tròn đó tiếp xúc với các cạnh của tam giác $ABC$ .

Lời giải:

a) Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. $I$ nằm trên phân giác góc $B$ nên $ID = IF$ ; $I$ nằm trên phân giác góc $C$ nên $ID = IE$ . Suy ra $ID = IE = IF$ , tức là $D$ , $E$ , $F$ cùng nằm trên đường tròn tâm $I$ bán kính $ID$ .

b) Các cạnh $BC$ , $CA$ , $AB$ lần lượt vuông góc với các bán kính $ID$ , $IE$ , $IF$ tại các điểm $D$ , $E$ , $F$ nằm trên đường tròn $(I)$ , nên mỗi cạnh đều là tiếp tuyến của $(I)$ . Vậy $(I)$ tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

Định nghĩa: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác; tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác của tam giác.

Câu hỏi. Mỗi tam giác có bao nhiêu đường tròn nội tiếp? Có bao nhiêu tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn?

Trả lời: Mỗi tam giác có đúng một đường tròn nội tiếp (vì ba đường phân giác đồng quy tại một điểm duy nhất). Ngược lại, có vô số tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn cho trước.

HĐ6. Cho tam giác $ABC$ đều có trọng tâm $G$ .

a) Giải thích vì sao $G$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .

b) Từ đó, giải thích vì sao bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{6}BC$ .

Lời giải:

a) Trong tam giác đều, ba đường trung tuyến đồng thời là ba đường phân giác. Vì $G$ là giao điểm ba đường trung tuyến nên $G$ cũng là giao điểm ba đường phân giác, tức là tâm đường tròn nội tiếp.

b) Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ thì $AD$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao, $AD \perp BC$ tại $D$ , nên bán kính đường tròn nội tiếp là $r = GD$ , còn bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R = GA$ .

Theo tính chất trọng tâm: $GD = \dfrac{1}{3}AD$ và $GA = \dfrac{2}{3}AD$ , suy ra $r = \dfrac{R}{2}$ .

Với tam giác đều cạnh $BC$ : $AD = \dfrac{\sqrt{3}}{2}BC$ , do đó $r = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}BC = \dfrac{\sqrt{3}}{6}BC$ .

Ghi nhớ: Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ có tâm là trọng tâm và bán kính $r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a$ .

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ . Biết rằng $\widehat{A} = 40^\circ$ , $\widehat{B} = 60^\circ$ . Tính số đo của các góc $\widehat{BIC}$ , $\widehat{CIA}$ và $\widehat{AIB}$ .

Lời giải:

Ta có $\widehat{C} = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$ . Vì $I$ là giao điểm ba đường phân giác nên $BI$ , $CI$ lần lượt là phân giác các góc $B$ , $C$ .

Xét tam giác $BIC$ : $\widehat{BIC} = 180^\circ - \dfrac{\widehat{B}}{2} - \dfrac{\widehat{C}}{2} = 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 110^\circ$ .

Tương tự: $\widehat{CIA} = 180^\circ - \dfrac{\widehat{C}}{2} - \dfrac{\widehat{A}}{2} = 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 120^\circ$ ;

$\widehat{AIB} = 180^\circ - \dfrac{\widehat{A}}{2} - \dfrac{\widehat{B}}{2} = 180^\circ - 20^\circ - 30^\circ = 130^\circ$ .

(Kiểm tra: $110^\circ + 120^\circ + 130^\circ = 360^\circ$ ✓)

Thực hành. Vẽ đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ bằng thước kẻ và compa.

Các bước thực hiện:

Vẽ tia phân giác góc $B$ : dùng compa vẽ một cung tròn tâm $B$ cắt hai cạnh $BC$ , $BA$ lần lượt tại $X$ và $Y$ . Vẽ hai cung tròn tâm $X$ , tâm $Y$ có cùng bán kính, cắt nhau tại điểm $Z$ khác $B$ . Kẻ tia $BZ$ — đó là tia phân giác góc $B$ .
Tương tự, vẽ tia phân giác góc $C$ , cắt tia $BZ$ tại $I$ — tâm đường tròn nội tiếp.
Kẻ $ID$ vuông góc với $BC$ ( $D$ thuộc $BC$ ). Vẽ đường tròn $(I; ID)$ — đó là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .