Bài 29. Tứ giác nội tiếp

HĐ1. Cho tứ giác ABCDABCD có A^=C^=90∘\widehat{A} = \widehat{C} = 90^\circ. Hãy giải thích vì sao bốn đỉnh của tứ giác ABCDABCD cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm OO của đoạn thẳng BDBD.

Lời giải:

Tam giác ABDABD vuông tại AA nên đường tròn ngoại tiếp của nó có tâm là trung điểm OO của cạnh huyền BDBD, tức là OA=OB=OD=BD2OA = OB = OD = \dfrac{BD}{2}.

Tương tự, tam giác CBDCBD vuông tại CC nên OC=OB=OD=BD2OC = OB = OD = \dfrac{BD}{2}.

Vậy OA=OB=OC=ODOA = OB = OC = OD: bốn đỉnh AA, BB, CC, DD cùng nằm trên đường tròn tâm OO bán kính BD2\dfrac{BD}{2}.

HĐ2. Trên đường tròn (O)(O), lấy các điểm AA, BB, CC, DD sao cho ABCDABCD là tứ giác lồi. Các đường trung trực của các cạnh ABAB, BCBC, CDCD, DADA có đồng quy hay không?

Lời giải:

Mỗi cạnh ABAB, BCBC, CDCD, DADA đều là một dây của đường tròn (O)(O), mà đường trung trực của một dây luôn đi qua tâm đường tròn. Vậy bốn đường trung trực đồng quy tại tâm OO.

Định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn, và đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

HĐ3. Em hãy đo các góc đối nhau AA và CC của tứ giác ABCDABCD trong HĐ2 và tính tổng A^+C^\widehat{A} + \widehat{C}. So sánh kết quả của em với các bạn.

Trả lời:

Đo được A^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ. Kết quả này giống nhau với mọi bạn, dù mỗi bạn vẽ tứ giác nội tiếp khác nhau.

Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180∘180^\circ.

Chứng minh: hai điểm BB, DD chia đường tròn thành hai cung có tổng số đo 360∘360^\circ; A^\widehat{A} và C^\widehat{C} là hai góc nội tiếp lần lượt chắn hai cung đó nên A^+C^=360∘2=180∘\widehat{A} + \widehat{C} = \dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ. Tương tự B^+D^=180∘\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ.

Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCDABCD nội tiếp đường tròn (O)(O). Hai đường thẳng ABAB và DCDC cắt nhau tại XX. Biết rằng DAB^=70∘\widehat{DAB} = 70^\circ, ABC^=130∘\widehat{ABC} = 130^\circ. Tính số đo của các góc BCDBCD và BXCBXC.

Lời giải:

Vì ABCDABCD là tứ giác nội tiếp nên tổng hai góc đối bằng 180∘180^\circ:

BCD^=180∘−DAB^=180∘−70∘=110∘;CDA^=180∘−ABC^=180∘−130∘=50∘.\widehat{BCD} = 180^\circ - \widehat{DAB} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ; \qquad \widehat{CDA} = 180^\circ - \widehat{ABC} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ.

Xét tam giác AXDAXD (với XX là giao của hai đường thẳng ABAB và DCDC):

BXC^=AXD^=180∘−DAB^−CDA^=180∘−70∘−50∘=60∘.\widehat{BXC} = \widehat{AXD} = 180^\circ - \widehat{DAB} - \widehat{CDA} = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ.

Luyện tập 1. Cho tam giác ABCABC có các đường cao BEBE, CFCF. Biết rằng B^=60∘\widehat{B} = 60^\circ, C^=80∘\widehat{C} = 80^\circ.

a) Chứng tỏ rằng tứ giác BCEFBCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BCBC.

b) Tính số đo của các góc BFEBFE và CEFCEF.

Lời giải:

a) Vì BEBE, CFCF là các đường cao nên BEC^=BFC^=90∘\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ: hai điểm EE, FF cùng nhìn đoạn BCBC dưới một góc vuông. Do đó EE và FF nằm trên đường tròn đường kính BCBC (tâm là trung điểm MM của BCBC, bán kính BC2\dfrac{BC}{2}). Vậy tứ giác BCEFBCEF nội tiếp đường tròn tâm MM.

b) Trong tứ giác nội tiếp BCEFBCEF, các cặp góc đối nhau là (FBC^,FEC^)(\widehat{FBC}, \widehat{FEC}) và (BCE^,BFE^)(\widehat{BCE}, \widehat{BFE}):

BFE^=180∘−BCE^=180∘−80∘=100∘;\widehat{BFE} = 180^\circ - \widehat{BCE} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ;

CEF^=180∘−FBC^=180∘−60∘=120∘.\widehat{CEF} = 180^\circ - \widehat{FBC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.

Thử thách nhỏ 1. Cho tứ giác ABCDABCD, biết rằng các đường trung trực của ba đoạn thẳng ABAB, ACAC, ADAD đồng quy tại một điểm. Hãy giải thích vì sao ABCDABCD là tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

Gọi OO là điểm đồng quy của ba đường trung trực. Vì OO nằm trên trung trực của ABAB nên OA=OBOA = OB; trên trung trực của ACAC nên OA=OCOA = OC; trên trung trực của ADAD nên OA=ODOA = OD.

Suy ra OA=OB=OC=ODOA = OB = OC = OD: bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn tâm OO bán kính OAOA. Vậy ABCDABCD là tứ giác nội tiếp.

2. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông

HĐ4. Vẽ hình chữ nhật ABCDABCD và giao điểm MM của hai đường chéo ACAC và BDBD.

a) Hãy giải thích vì sao điểm MM cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCDABCD.

b) Chứng tỏ rằng hình chữ nhật ABCDABCD nội tiếp một đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.

Lời giải:

a) Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên:

MA=MC=AC2=BD2=MB=MD.MA = MC = \frac{AC}{2} = \frac{BD}{2} = MB = MD.

b) Từ câu a, bốn đỉnh AA, BB, CC, DD cùng cách MM một khoảng bằng nửa đường chéo, tức là hình chữ nhật ABCDABCD nội tiếp đường tròn tâm MM bán kính AC2\dfrac{AC}{2}.

HĐ5. Cho hình vuông ABCDABCD có cạnh bằng 33 cm. Hãy xác định tâm, vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCDABCD và cho biết bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm OO của hai đường chéo. Đường chéo hình vuông cạnh 33 cm dài AC=32AC = 3\sqrt{2} cm, nên bán kính là:

R=AC2=322 (cm)≈2,12 cm.R = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ (cm)} \approx 2{,}12 \text{ cm}.

Ghi nhớ: Hình chữ nhật và hình vuông là các tứ giác nội tiếp; đường tròn ngoại tiếp của chúng có tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính bằng nửa đường chéo.

Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật ABCDABCD có AB=3AB = 3 cm, AD=4AD = 4 cm. Vẽ đường tròn (O;R)(O; R) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCDABCD và tính bán kính RR.

Lời giải:

Gọi OO là giao điểm của ACAC và BDBD; đường tròn tâm OO bán kính OAOA ngoại tiếp hình chữ nhật.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABDABD vuông tại AA: BD2=AB2+AD2=9+16=25BD^2 = AB^2 + AD^2 = 9 + 16 = 25, suy ra BD=5BD = 5 cm.

Vậy R=BD2=2,5R = \dfrac{BD}{2} = 2{,}5 cm.

Luyện tập 2. Cho hình thoi ABCDABCD có các cạnh bằng 33 cm. Gọi MM, NN, PP, QQ lần lượt là trung điểm của ABAB, BCBC, CDCD, DADA. Chứng tỏ rằng tứ giác MNPQMNPQ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

Lời giải:

MNMN là đường trung bình của tam giác ABCABC nên MN∥ACMN \parallel AC và MN=AC2MN = \dfrac{AC}{2}; tương tự QP∥ACQP \parallel AC, QP=AC2QP = \dfrac{AC}{2}. Suy ra MNPQMNPQ là hình bình hành. Lại có MQMQ là đường trung bình của tam giác ABDABD nên MQ∥BDMQ \parallel BD.

Vì ABCDABCD là hình thoi nên AC⊥BDAC \perp BD, do đó MN⊥MQMN \perp MQ. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQMNPQ bằng nửa đường chéo MPMP. Ta có:

MP2=MN2+NP2=(AC2)2+(BD2)2.MP^2 = MN^2 + NP^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2.

Trong hình thoi cạnh 33 cm, nửa hai đường chéo và cạnh lập thành tam giác vuông: (AC2)2+(BD2)2=AB2=9\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2 = AB^2 = 9.

Suy ra MP=3MP = 3 cm và bán kính cần tìm là R=MP2=1,5R = \dfrac{MP}{2} = 1{,}5 cm.

Thử thách nhỏ 2. Nếu các hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ hai hình chữ nhật ABCDABCD và AECFAECF có chung đường chéo ACAC) thì các đỉnh của chúng có cùng nằm trên một đường tròn không?

Lời giải:

Có. Mỗi hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm đường chéo và bán kính bằng nửa đường chéo. Vì các hình chữ nhật có chung đường chéo ACAC nên các đường tròn ngoại tiếp của chúng đều là đường tròn tâm trung điểm ACAC, bán kính AC2\dfrac{AC}{2} — tức là cùng một đường tròn. Vậy tất cả các đỉnh cùng nằm trên đường tròn đường kính ACAC.

Bài tập

Bài 9.18. Cho ABCDABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:

a) A^=60∘\widehat{A} = 60^\circ, B^=80∘\widehat{B} = 80^\circ; b) B^=70∘\widehat{B} = 70^\circ, C^=90∘\widehat{C} = 90^\circ; c) C^=100∘\widehat{C} = 100^\circ, D^=60∘\widehat{D} = 60^\circ; d) D^=110∘\widehat{D} = 110^\circ, A^=80∘\widehat{A} = 80^\circ.

Lời giải:

Trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối bằng 180∘180^\circ: A^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ và B^+D^=180∘\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ.

a) C^=180∘−60∘=120∘\widehat{C} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ; D^=180∘−80∘=100∘\widehat{D} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ.

b) D^=180∘−70∘=110∘\widehat{D} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ; A^=180∘−90∘=90∘\widehat{A} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ.

c) A^=180∘−100∘=80∘\widehat{A} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ; B^=180∘−60∘=120∘\widehat{B} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.

d) B^=180∘−110∘=70∘\widehat{B} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ; C^=180∘−80∘=100∘\widehat{C} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ.

Bài 9.19. Cho điểm II nằm ngoài đường tròn (O)(O). Qua II kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O)(O) tại bốn điểm AA, BB và CC, DD sao cho AA nằm giữa BB và II, CC nằm giữa DD và II. Chứng minh rằng IBD^=ICA^\widehat{IBD} = \widehat{ICA}, IAC^=IDB^\widehat{IAC} = \widehat{IDB} và IA⋅IB=IC⋅IDIA \cdot IB = IC \cdot ID.

Lời giải:

Bốn điểm AA, BB, DD, CC nằm trên đường tròn (O)(O) tạo thành tứ giác nội tiếp ABDCABDC (hai cạnh BABA và DCDC kéo dài cắt nhau tại II).

Vì CC nằm giữa II và DD nên ICA^\widehat{ICA} và DCA^\widehat{DCA} là hai góc kề bù: ICA^=180∘−DCA^\widehat{ICA} = 180^\circ - \widehat{DCA}. Trong tứ giác nội tiếp ABDCABDC, hai góc ABD^\widehat{ABD} và DCA^\widehat{DCA} đối nhau nên ABD^=180∘−DCA^\widehat{ABD} = 180^\circ - \widehat{DCA}. Suy ra:

IBD^=ABD^=180∘−DCA^=ICA^.\widehat{IBD} = \widehat{ABD} = 180^\circ - \widehat{DCA} = \widehat{ICA}.

Tương tự, IAC^=180∘−BAC^\widehat{IAC} = 180^\circ - \widehat{BAC} (kề bù, vì AA nằm giữa II và BB), mà BAC^+BDC^=180∘\widehat{BAC} + \widehat{BDC} = 180^\circ (hai góc đối của tứ giác nội tiếp), nên:

IAC^=BDC^=IDB^.\widehat{IAC} = \widehat{BDC} = \widehat{IDB}.

Xét hai tam giác IACIAC và IDBIDB: góc II chung và IAC^=IDB^\widehat{IAC} = \widehat{IDB}, suy ra △IAC∽△IDB\triangle IAC \backsim \triangle IDB (g.g). Do đó:

IAID=ICIB  ⟹  IA⋅IB=IC⋅ID (đieˆˋu phải chứng minh).\frac{IA}{ID} = \frac{IC}{IB} \implies IA \cdot IB = IC \cdot ID \text{ (điều phải chứng minh)}.

Bài 9.20. Cho hình bình hành ABCDABCD nội tiếp đường tròn (O)(O). Chứng minh rằng ABCDABCD là hình chữ nhật.

Lời giải:

Vì ABCDABCD là hình bình hành nên A^=C^\widehat{A} = \widehat{C} (hai góc đối của hình bình hành bằng nhau).

Vì ABCDABCD nội tiếp đường tròn nên A^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ.

Từ hai điều trên suy ra 2A^=180∘2\widehat{A} = 180^\circ, tức A^=90∘\widehat{A} = 90^\circ. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật (điều phải chứng minh).

Bài 9.21. Cho hình thang ABCDABCD (ABAB song song với CDCD) nội tiếp đường tròn (O)(O). Chứng minh rằng ABCDABCD là hình thang cân.

Lời giải:

Vì AB∥CDAB \parallel CD nên BAD^+ADC^=180∘\widehat{BAD} + \widehat{ADC} = 180^\circ (hai góc trong cùng phía).

Vì ABCDABCD nội tiếp nên BAD^+BCD^=180∘\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 180^\circ (hai góc đối).

Suy ra ADC^=BCD^\widehat{ADC} = \widehat{BCD}: hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân (điều phải chứng minh).

Bài 9.22. Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,52{,}5 cm.

Lời giải:

Đường chéo hình chữ nhật bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp: d=2⋅2,5=5d = 2 \cdot 2{,}5 = 5 (cm).

Gọi chiều rộng là xx (cm, x>0x > 0) thì chiều dài là 2x2x. Theo định lí Pythagore:

x2+(2x)2=52  ⟺  5x2=25  ⟺  x2=5  ⟺  x=5.x^2 + (2x)^2 = 5^2 \iff 5x^2 = 25 \iff x^2 = 5 \iff x = \sqrt{5}.

Diện tích hình chữ nhật: S=x⋅2x=2x2=2⋅5=10S = x \cdot 2x = 2x^2 = 2 \cdot 5 = 10 (cm²).

Bài 9.23. Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 44 m và cao 33 m, bên ngoài khung cổng được bao bọc bởi một khung thép dạng nửa đường tròn. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.

Lời giải:

Nửa đường tròn có đường kính nằm trên mặt đất và đi qua hai đỉnh phía trên của khung cổng chữ nhật. Do tính đối xứng, tâm OO của nửa đường tròn là trung điểm cạnh đáy khung cổng.

Khoảng cách từ OO đến một đỉnh phía trên của khung cổng (cách OO theo phương ngang 42=2\dfrac{4}{2} = 2 m, theo phương thẳng đứng 33 m) là:

R=22+32=13 (m).R = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \text{ (m)}.

Chiều dài đoạn thép làm khung nửa đường tròn:

ℓ=πR=π13≈11,3 (m).\ell = \pi R = \pi\sqrt{13} \approx 11{,}3 \text{ (m)}.