Bài 30. Đa giác đều

HĐ1. Dựng đa giác lồi 55 cạnh có các đỉnh nằm trên đường tròn: vẽ đường tròn tâm OO bán kính RR; lấy các điểm AA, BB, CC, DD, EE trên đường tròn theo thứ tự sao cho:

AOB^=BOC^=COD^=DOE^=EOA^=360∘5=72∘.\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COD} = \widehat{DOE} = \widehat{EOA} = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ.

Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác ABCDEABCDE bằng nhau.

Lời giải:

Năm tam giác OABOAB, OBCOBC, OCDOCD, ODEODE, OEAOEA đều cân tại OO, có hai cạnh bên bằng RR và góc ở đỉnh bằng 72∘72^\circ, nên chúng bằng nhau (c.g.c). Suy ra:

  • Các cạnh đáy bằng nhau: AB=BC=CD=DE=EAAB = BC = CD = DE = EA;
  • Các góc kề đáy của mỗi tam giác đều bằng 180∘−72∘2=54∘\dfrac{180^\circ - 72^\circ}{2} = 54^\circ. Mỗi góc của đa giác là tổng hai góc kề đáy của hai tam giác kề nhau, ví dụ ABC^=ABO^+OBC^=54∘+54∘=108∘\widehat{ABC} = \widehat{ABO} + \widehat{OBC} = 54^\circ + 54^\circ = 108^\circ. Vậy năm góc của đa giác đều bằng 108∘108^\circ.

Định nghĩa: Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Các đỉnh của đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp đa giác).

Câu hỏi. Nếu một lục giác đều (đa giác đều 66 cạnh) nội tiếp đường tròn bán kính 22 cm thì độ dài các cạnh của lục giác đều bằng bao nhiêu centimét? Số đo các góc của lục giác đều bằng bao nhiêu độ?

Trả lời:

Nối tâm OO với các đỉnh, lục giác đều được chia thành 66 tam giác cân tại OO có góc ở đỉnh 360∘6=60∘\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ — đó là các tam giác đều cạnh R=2R = 2 cm. Vậy cạnh của lục giác đều bằng 22 cm (bằng bán kính).

Mỗi góc của lục giác đều bằng 2⋅180∘−60∘2=120∘2 \cdot \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 120^\circ.

Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABCABC có cạnh 66 cm. Trên cạnh ABAB lấy các điểm MM, NN; trên cạnh BCBC lấy các điểm PP, QQ; trên cạnh CACA lấy các điểm EE, FF, sao cho các đoạn thẳng AMAM, MNMN, NBNB, BPBP, PQPQ, QCQC, CECE, EFEF, FAFA đều bằng 22 cm. Hỏi MNPQEFMNPQEF có là một lục giác đều hay không?

Lời giải:

MNPQEFMNPQEF là một đa giác lồi. Ta có AMAB=AFAC=13\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{1}{3} nên theo định lí Thalès đảo, MF∥BCMF \parallel BC, suy ra:

MFBC=AMAB=13  ⟹  MF=BC3=2 (cm).\frac{MF}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} \implies MF = \frac{BC}{3} = 2 \text{ (cm)}.

Tương tự NP=QE=2NP = QE = 2 cm. Vậy lục giác MNPQEFMNPQEF có tất cả các cạnh bằng 22 cm.

Mặt khác, tam giác AMFAMF có AM=MF=FA=2AM = MF = FA = 2 cm nên là tam giác đều, suy ra FMA^=60∘\widehat{FMA} = 60^\circ và FMN^=180∘−60∘=120∘\widehat{FMN} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ. Tương tự, các góc tại các đỉnh còn lại của lục giác đều bằng 120∘120^\circ.

Lục giác MNPQEFMNPQEF có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau nên là lục giác đều.

Luyện tập 1. Cho MM, NN, PP, QQ, KK lần lượt là trung điểm của các cạnh ABAB, BCBC, CDCD, DEDE và EAEA của ngũ giác đều ABCDEABCDE. Hỏi MNPQKMNPQK có phải là ngũ giác đều hay không?

Lời giải:

Gọi cạnh ngũ giác đều là aa; mỗi góc của ngũ giác đều bằng 108∘108^\circ.

Xét các tam giác MBNMBN, NCPNCP, PDQPDQ, QEKQEK, KAMKAM: mỗi tam giác có hai cạnh bằng a2\dfrac{a}{2} (nửa cạnh ngũ giác) kẹp góc 108∘108^\circ, nên chúng bằng nhau (c.g.c). Suy ra MN=NP=PQ=QK=KMMN = NP = PQ = QK = KM.

Mỗi tam giác đó cân với góc ở đỉnh 108∘108^\circ nên hai góc kề đáy bằng 180∘−108∘2=36∘\dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ. Do đó góc của đa giác MNPQKMNPQK tại mỗi đỉnh, ví dụ tại NN:

MNP^=180∘−BNM^−CNP^=180∘−36∘−36∘=108∘.\widehat{MNP} = 180^\circ - \widehat{BNM} - \widehat{CNP} = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ.

Vậy MNPQKMNPQK có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng 108∘108^\circ, tức là ngũ giác đều.

Thử thách nhỏ 1. Cho một bát giác đều (đa giác đều 88 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm OO. Hỏi mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Nối OO với các đỉnh, bát giác đều được chia thành 88 tam giác cân tại OO có góc ở đỉnh 360∘8=45∘\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ; hai góc kề đáy của mỗi tam giác bằng 180∘−45∘2=67,5∘\dfrac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67{,}5^\circ.

Mỗi góc của bát giác đều bằng tổng hai góc kề đáy của hai tam giác kề nhau:

2⋅67,5∘=135∘.2 \cdot 67{,}5^\circ = 135^\circ.

2. Phép quay

HĐ2. Đặt một chiếc cốc nhỏ ở vị trí điểm AA trên bàn xoay hình tròn tâm OO (AA khác OO). Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ thì chiếc cốc di chuyển đến vị trí mới là điểm BB. Em hãy so sánh khoảng cách từ hai điểm AA và BB đến điểm OO. Hai điểm AA và BB có cùng nằm trên một đường tròn tâm OO hay không?

Lời giải:

Khi bàn xoay quay quanh tâm OO, khoảng cách từ chiếc cốc đến tâm không thay đổi, nên OB=OAOB = OA. Do đó hai điểm AA và BB cùng nằm trên đường tròn tâm OO bán kính OAOA.

HĐ3. Trên bàn xoay tâm OO, vẽ tam giác đều ABCABC nội tiếp đường tròn (O)(O) và hai tia OAOA, OBOB. Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ để tia OAOA di chuyển trùng với tia OBOB (ở vị trí ban đầu), điểm AA có di chuyển đến vị trí của điểm BB không và sẽ di chuyển trên cung tròn nào của đường tròn (O)(O)? Khi đó, điểm CC sẽ di chuyển đến vị trí của điểm nào?

Lời giải:

Khi tia OAOA quay đến trùng tia OBOB thì điểm AA di chuyển đến vị trí của điểm BB, và AA di chuyển trên cung nhỏ ABAB của đường tròn (O)(O) (cung có số đo 120∘120^\circ, vì tam giác ABCABC đều chia đường tròn thành ba cung bằng nhau).

Vì cả ba đỉnh cùng quay một góc như nhau nên điểm CC di chuyển đến vị trí của điểm AA (và điểm BB đến vị trí của điểm CC).

Khái niệm: Phép quay thuận chiều α∘\alpha^\circ (0∘<α<360∘0^\circ < \alpha < 360^\circ) tâm OO giữ nguyên điểm OO, biến điểm AA khác OO thành điểm BB thuộc đường tròn (O;OA)(O; OA) sao cho tia OAOA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OBOB thì điểm AA tạo nên cung ABAB có số đo α∘\alpha^\circ. Tương tự cho phép quay ngược chiều. Phép quay 0∘0^\circ và 360∘360^\circ giữ nguyên mọi điểm.