Bài 31 (tiếp). Hình trụ và hình nón

Ví dụ 2. Bác Khôi dự định sơn lại một thùng rác có dạng hình trụ (sơn mặt ngoài và một đáy là nắp) có bán kính đáy bằng 1111 cm, chiều cao bằng 3030 cm.

a) Tính diện tích phần cần sơn của thùng rác.

b) Tính thể tích của thùng rác (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).

Lời giải:

a) Phần cần sơn gồm mặt xung quanh và một mặt đáy (nắp):

S=Sxq+Sđaˊy=2πRh+πR2=2π⋅11⋅30+π⋅112=660π+121π=781π≈2 453,5 (cm2).S = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = 2\pi R h + \pi R^2 = 2\pi \cdot 11 \cdot 30 + \pi \cdot 11^2 = 660\pi + 121\pi = 781\pi \approx 2\,453{,}5 \text{ (cm}^2\text{)}.

b) Thể tích thùng rác:

V=πR2h=π⋅112⋅30=3 630π≈11 404 (cm3).V = \pi R^2 h = \pi \cdot 11^2 \cdot 30 = 3\,630\pi \approx 11\,404 \text{ (cm}^3\text{)}.

Luyện tập 2. Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao bằng 1,61{,}6 m và bán kính đáy bằng 0,50{,}5 m.

a) Tính diện tích xung quanh của thùng nước.

b) Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước? (Coi chiều dày của thùng không đáng kể và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của lít.)

Lời giải:

a) Sxq=2πRh=2π⋅0,5⋅1,6=1,6π≈5,03S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 0{,}5 \cdot 1{,}6 = 1{,}6\pi \approx 5{,}03 (m²).

b) Thể tích thùng:

V=πR2h=π⋅0,52⋅1,6=0,4π≈1,2566 (m3).V = \pi R^2 h = \pi \cdot 0{,}5^2 \cdot 1{,}6 = 0{,}4\pi \approx 1{,}2566 \text{ (m}^3\text{)}.

Vì 11 m³ =1 000= 1\,000 lít nên thùng chứa được khoảng 1,2566⋅1 000≈1 2571{,}2566 \cdot 1\,000 \approx 1\,257 lít nước.

2. Hình nón

Nhận biết hình nón: Khi quay tam giác vuông SOASOA (vuông ở OO) một vòng quanh cạnh SOSO cố định, ta được hình nón đỉnh SS: đáy là hình tròn (O;OA)(O; OA) với bán kính đáy R=OAR = OA; mỗi đường sinh là một vị trí của SASA khi quay (các đường sinh dài bằng nhau); SOSO là đường cao, độ dài SOSO là chiều cao hh của hình nón.

Câu hỏi. Nêu một số đồ vật có dạng hình nón trong đời sống.

Trả lời: Nón lá, mũ sinh nhật, cây kem ốc quế, phễu rót chất lỏng, cọc tiêu giao thông (phần chóp), đầu bút chì đã gọt.

Ví dụ 3. Hãy kể tên đỉnh, đường cao, một bán kính đáy và một đường sinh của hình nón (đỉnh SS, tâm đáy OO, điểm MM nằm trên đường tròn đáy).

Lời giải:

  • Đỉnh: SS;
  • Đường cao: SOSO;
  • Một bán kính đáy: OMOM;
  • Một đường sinh: SMSM.

Thực hành 2. Cắt một nửa hình tròn bằng giấy cứng, có đường kính AB=20AB = 20 cm và tâm là SS. Cuộn nửa hình tròn đó lại sao cho SASA và SBSB sát vào nhau, ta được một hình nón đỉnh SS. Hãy cho biết độ dài đường sinh và chu vi đáy của hình nón đó.

Lời giải:

Bán kính của nửa hình tròn là AB2=10\dfrac{AB}{2} = 10 cm. Khi cuộn lại, bán kính này trở thành đường sinh của hình nón: l=10l = 10 cm.

Chu vi đáy của hình nón bằng độ dài cung của nửa đường tròn:

C=12⋅2π⋅10=10π≈31,4 (cm).C = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot 10 = 10\pi \approx 31{,}4 \text{ (cm)}.

HĐ3. Diện tích của hình quạt tròn SABSAB (xem Thực hành 2) chính là diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành. Cho hình nón có đường sinh l=9l = 9 cm và bán kính đáy r=5r = 5 cm. Tính diện tích mặt xung quanh của hình nón.

Lời giải:

Sxq=πrl=π⋅5⋅9=45π≈141,4 (cm2).S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 9 = 45\pi \approx 141{,}4 \text{ (cm}^2\text{)}.

Công thức: Sxq=πrlS_{xq} = \pi r l (rr: bán kính đáy, ll: độ dài đường sinh).

HĐ4. Hãy nhắc lại công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều (hoặc hình chóp tứ giác đều) có diện tích đáy SS và chiều cao hh.

Trả lời: V=13S⋅hV = \dfrac{1}{3}S \cdot h. Tương tự, thể tích hình nón là V=13πr2hV = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h.

Ví dụ 4. Cho một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1010 cm, bán kính đáy bằng 66 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

Lời giải:

a) Sxq=πrl=π⋅6⋅10=60πS_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi (cm²).

b) Gọi SS là đỉnh, OO là tâm đáy, BB là một điểm trên đường tròn đáy. Tam giác SOBSOB vuông tại OO nên theo định lí Pythagore:

SO2=SB2−OB2=102−62=64  ⟹  SO=8 (cm).SO^2 = SB^2 - OB^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \implies SO = 8 \text{ (cm)}.

Thể tích hình nón: V=13πr2h=13π⋅62⋅8=96πV = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi (cm³).

Luyện tập 4. Tính diện tích xung quanh và thể tích của một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1313 cm và chiều cao bằng 1212 cm.

Lời giải:

Bán kính đáy (theo định lí Pythagore): r=l2−h2=132−122=25=5r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5 (cm).

Diện tích xung quanh: Sxq=πrl=π⋅5⋅13=65π≈204,2S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi \approx 204{,}2 (cm²).

Thể tích: V=13πr2h=13π⋅25⋅12=100π≈314,2V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \approx 314{,}2 (cm³).

Vận dụng. Người ta đổ muối thu hoạch được trên cánh đồng muối thành từng đống có dạng hình nón với chiều cao khoảng 0,90{,}9 m và đường kính đáy khoảng 1,61{,}6 m. Hỏi mỗi đống muối có bao nhiêu đềximét khối muối? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.)

Lời giải:

Bán kính đáy: r=1,62=0,8r = \dfrac{1{,}6}{2} = 0{,}8 (m). Thể tích đống muối:

V=13πr2h=13π⋅0,82⋅0,9=0,192π≈0,6032 (m3).V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}9 = 0{,}192\pi \approx 0{,}6032 \text{ (m}^3\text{)}.

Vì 11 m³ =1 000= 1\,000 dm³ nên mỗi đống muối có khoảng 603603 dm³ muối.